由於(yu) 最近高強度更新的蔣氏數學內(nei) 容過於(yu) 硬核，今天給大家帶來一點簡單數學。
相信讀者朋友們(men) 都有肉身不帶雨傘(san) 過在大雨中奔跑的經曆。我個(ge) 人非常喜歡碩大雨點拍在臉上的感覺。每次在雨中行走時，我都會(hui) 想，究竟是在雨中跑快點淋的雨少還是慢慢走淋的雨少呢？以前我猜測跑快點淋的雨多，因為(wei) 明顯雨點打在臉上更痛，不過也僅(jin) 是猜測，沒有嚴(yan) 謹驗證。接下來我將通過數學建模的方式來稍微研究一下。也就是研究移動速度和淋雨量的關(guan) 係。
首先，假設的情景是：正在下雨，一個(ge) 人在戶外，想要從(cong) 一個(ge) 地方走到另一個(ge) 地方，但他沒有帶雨傘(san) 或者雨衣。此時他想要找到一個(ge) 最合適的速度移動過去而淋到最少的雨。跑還是不跑，這是個(ge) 問題。
接下來是把這個(ge) 現實情景簡化成能夠處理的模型。以下是模型的前提：
1. 這個(ge) 人以勻速直線運動
2. 這個(ge) 人是一個(ge) 長方體(ti)
3. 降雨量穩定且沒有風
以下是整個(ge) 模型用到的所有亂(luan) 七八糟的變量。大概看看就好，之後都會(hui) 有詳細解釋。
要研究這個(ge) 問題，首先要搞明白什麽(me) 是雨。在這個(ge) 模型中，雨應當被理解為(wei) 一種類氣體(ti) 物質，或者叫“雨氣”。它體(ti) 積無限大，並以勻速垂直向下運動。它有兩(liang) 個(ge) 重要的量：雨水密度ρ 和下落速度 VR。下落速度很好理解。雨水密度並不是指水的密度，而是在單位體(ti) 積的“雨氣”中水的質量。
模型中的雨
上圖展示了雨的兩(liang) 個(ge) 性質。如果圖中方塊區域的雨氣體(ti) 積是1m3，那麽(me) 這個(ge) 區域中就包含了ρ千克的水。
再考慮地上麵積為(wei) A的一塊區域，這塊區域單位時間內(nei) 的淋雨量則為(wei) ρ * VR * A，單位為(wei) [kg/s]。經過t秒，這塊區域就有M 千克的雨打在上麵：
拓展到所有情況，也就是：
這個(ge) 簡單公式就是整個(ge) 模型的核心。對於(yu) 上圖中的最簡單情景，由於(yu) 平麵A是靜止的，有效速度VE等於(yu) 雨的下落速度VR。而平麵和雨也沒有夾角，有效麵積AE等於(yu) 平麵麵積A。
接下來將逐一解釋VEAEtρ四個(ge) 重要變量。
一個(ge) 方塊人在雨中移動
當一個(ge) （方塊）人在雨中移動時，從(cong) 圖中可以看到兩(liang) 個(ge) 速度，雨的下落速度VR和人的移動速度Vp. 為(wei) 了方便分析，我們(men) 換個(ge) 參考係，讓人保持靜止，把人的速度給加到雨的速度上。這樣就會(hui) 得到一個(ge) 速度更快而且斜著的雨。
雨天坐高鐵或飛機的時候可以看到斜著的雨
斜的雨
用一點三角函數和向量的知識，可以得到：
和
雨的角度和有效速度十分重要。角度決(jue) 定了最終的有效麵積，而有效速度直接影響淋雨量。很明顯，當雨水密度一定時，雨的速度越快，那每秒打在身上的水就越多。
方塊人
模型中的方塊人高H米，寬W米，厚T米。由於(yu) 我們(men) 假設無風，當他在雨中向前走的時候，隻有正麵和頂部會(hui) 接觸到雨。所以我們(men) 也隻需要考慮正麵和頂部的麵積。
使用一些小學數學：
頂部麵積 A1 = TW
正麵麵積 A2 = HW
由於(yu) 雨可能是斜的，正麵和頂部並不完全暴露在雨中，而是根據角度變化。此時就要考慮有效淋雨麵積。
有效麵積
上圖中的藍線代表方塊人的真實麵積，紅線表示實際在淋雨的有效麵積。再用一點初中三角函數來表示：
頂部有效麵積 A1E = A1cos(θ)
正麵有效麵積 A2E = A2sin(θ)
總有效麵積 AE = A1E + A2E
同時記得：
A1 = TW
A2 = HW
結合一下：
至此，相信大家已經輕鬆理解基礎公式
中的VE和AE，我們(men) 繼續分析t和ρ。
這個(ge) 人的目的地距離始發地的距離為(wei) d米，而他的速度為(wei) Vp。那麽(me) 移動所耗的時間就是：
最後，我們(men) 要定義(yi) 並解釋最後一個(ge) 變量ρ。
為(wei) 了模型的準確性和適用性，我們(men) 最好能夠使用真實的數據。首先我們(men) 來看一下現實中降雨量是如何表示的。日常生活中，讀者朋友們(men) 肯定聽說過“降雨量xx毫米”之類的播報。最常用的降雨量單位是[mm/m2/day]，也就是“毫米每平方米每天”，簡稱“毫米”。
意思是一平方米的地麵每天可以積累的雨水高度，等同於(yu) [L/m2/day]，“升每平方米每天”。例如，如果我們(men) 說有一場降雨量為(wei) 100mm的暴雨，那麽(me) 意思就是這場雨中每天平方米土地都能積起100mm深的水（如果不排水），或者每平方米土地都被澆上了100L雨水。
僅(jin) 使用降雨量的數據是不夠的，我們(men) 還需要雨的速度。當雨滴在雲(yun) 層中形成後，它首先會(hui) 因重力而向下加速，而後又因風阻和重力達到力平衡，最後雨滴將維持一個(ge) 恒定的終端速度落地。根據一些論文，雨滴的終端速度與(yu) 其體(ti) 積有直接關(guan) 係，而雨滴體(ti) 積又與(yu) 降雨量是直接相關(guan) 的。降雨量越大，雨滴平均尺寸越大，終端速度也越高。
用降雨量，終端速度和液體(ti) 密度來得到雨水密度：
量綱分析驗證一下準確性：
注意到此公式中用到的降雨量IS與(yu) 常用降雨量IC單位不同，需要轉換一下。例如，從(cong) [mm/m2/day]轉換為(wei) ：[Lm-2s-1]：
除了[mm m-2 day-1]，還有一些其他的常用降雨量單位，如[mm m-2 hour-1]，[mm m-2 month-1]和[mm m-2 year-1]。代入數據時稍稍轉換一下即可。
至此，基本方程中的四個(ge) 變量都解釋完了，現在總結一下。
基本方程：
每個(ge) 變量：
有效雨速度
有效淋雨麵積
淋雨時間
雨水密度
全部放在一起：
用這個(ge) 公式就可以分析移動速度和淋雨量的關(guan) 係了。M是應變量，VP是自變量，除此之外都是常量。接下來，我們(men) 將合適的常量代入進去來看看結果如何。
假設這個(ge) 人高1.8米，寬1.5米，厚0.3米。他要走總共1000米直線。正在下雨。隨便選了一個(ge) 中雨的降雨量25 mm m-2 day-1，也就是0.00029 Lm-2s-1。
我們(men) 查一下這個(ge) 降雨量下的雨滴終端速度。
降雨量和雨滴直徑的關(guan) 係
(Cerdá, A. “Rainfall Drop Size Distribution in the Western Mediterranean Basin, València, Spain.” CATENA, vol. 30, no. 2-3, 1997, pp. 169–182., doi:10.1016/s0341-8162(97)00019-2.)
通過這篇論文收集分析的信息，我們(men) 可以找到降雨量和雨滴直徑的關(guan) 係。將25 mm m-2 day-1轉換為(wei) 上圖中使用的單位，為(wei) 1.04 mm m-2 hour-1。根據作者給出的趨勢線：
把1.04 mm m-2 hour-1代入，得到：
也就是說在這個(ge) 降雨量下水滴的平均直徑大約是0.079cm。
然後，我們(men) 再找到一篇研究雨滴尺寸和終端速度的論文。
雨滴直徑與(yu) 終端速度的關(guan) 係
(Serio, Maria A., et al. “Raindrop Size Distribution and Terminal Velocity for Rainfall Erosivity Studies. A Review.” Journal of Hydrology, vol. 576, 2019, pp. 210–228., doi:10.1016/j.jhydrol.2019.06.040.)
雖然作者給出了趨勢線的公式，但我們(men) 可以方便點直接用大眼睛看圖。當水滴直徑為(wei) 0.079cm時終端速度大概是2.7 ms-1.
把常量列一下：
把這些量代入方程：
畫個(ge) 圖
x軸是人的速度，y軸是總淋雨質量
從(cong) 圖中可以看出，人跑得越快淋雨就越少。但僅(jin) 在低速有明顯減少，高速情況下沒啥區別。
事實上，就算人跑得無限快，也至少會(hui) 淋到一定量的雨水。當Vp趨近於(yu) 無限時：
每項分開看，首先發現：
於(yu) 是，含有三角函數的那一項變成常數：
0.9放進去一起再看剩下的：
由於(yu) ：
所以：
無論跑的多快，至少也要淋0.9667kg的雨。
函數的漸近線
物理上驗證：
極高速下的情況
根據上圖，當人的速度極高時，雨滴可以視為(wei) 靜止。這個(ge) 人就會(hui) “橫掃”過路徑上的所有水滴。因此，總質量為(wei) ：
給出總掃過的雨氣體(ti) 積，ρ為(wei) 雨氣密度。
代入驗證：
結果與(yu) 之前一致。
結論：跑的快確實能減少淋到的雨，但是人是有極限的，跑的再快還是要淋雨。建議大家在不累死自己的前提下跑快點或者帶把雨傘(san) 。
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