2018年英國物理奧賽BPhO 18 Question2 d題解析

明天就是 BPhO first round 的考試，畢竟是很權威的物理奧賽，強度自然不小。希望報名參賽的同學們(men) 調整好自己的身心狀態，考前建議熟悉一下公示表中的各個(ge) 公式、多做做前麵相對容易的小題、將力、熱、聲、光、電等知識點在腦海中串起來，保持輕鬆的心態。

今天帶給大家的題是 2018年 Section2 部分 Question 2 中的 d) 問，是個(ge) 關(guan) 於(yu) 兩(liang) 個(ge) 天體(ti) 的質心、重力場、等勢線、引力勢能的題，難度還是相當了得。在 BPhO 競賽前的幾個(ge) 小時，不建議大家再做太多這樣難度的題目，因為(wei) 會(hui) 使你的思路很緊繃；如果想不明白，也會(hui) 影響到競賽時的信心。下麵看題吧：

d) A planet of mass Mp has an orbiting moon of mass Mm.  The mass of the moon is about 1/8 the mass of the planet.
(i) Sketch a set of equipotential lines for the planet-moon system. Ignore the orbital motion of the moon.  Without detailed calculation, indicate on your sketch the relative positions of the neutral point (a point of zero field strength) and the centre of mass of the planet-moon system.

A rocket of mass m is launched from the planet.  The rocket engine is used very briefly at take-off when it is close to the planet's surface, and it almost immediately reaches speed v, after which the fuel is exhausted and there is no further propulsion.  It is then in free-fall and will have just enough energy to reach the moon.  Assume that you can ignore relative motion of the planet and moon, and ignore air resistance.

Obtain expressions and calculate values for:

(ii) The distance, d, from the planet's centre, where the speed of the rocket is lowest.

(iii) The launch speed v of the rocket from the planet, in terms of the variables Mp, Mm, the radius of the planet, Rp, and the separation of the centres of the moon and planet, D.

For this question part, you may take ,, .
(9)

答案解析：
第 (i) 問是 d) 問中最難的小問，場景是一個(ge) 行星 (planet) 和它的衛星 (moon)，moon 是 planet 質量的八分之一。讓畫出它們(men) 的等勢線 (equipotential lines)，並指出質心和重力場零點的位置。

先畫等勢線，由於(yu) 等勢線垂直於(yu) 重力場線 (gravitational field lines)，所以我們(men) 可從(cong) 比較熟悉的重力場線畫起。如果是兩(liang) 個(ge) 質量相同、均為(wei) M 的星球，它們(men) 之間的重力場線比較好畫，如下圖：

重力場線向內(nei) 指向兩(liang) 星球，而且在兩(liang) 星球中間位置處，場線比較密集。由於(yu) 質量相同，重力場線在兩(liang) 星球連線的中點處強度為(wei) 零，左右兩(liang) 側(ce) 是對稱的。
本題中說 moon 隻有 planet 質量的八分之一，根據重力場強公式：

質量 M 越大的星球，周圍的重力場顯然越大，所以重力場線就越密；而質量隻有 planet 八分之一的 moon 附近的重力場就相對較弱，附近的場線相對疏鬆。
在實際開始畫場線之前，根據以上公式我們(men) 還可以推出兩(liang) 物體(ti) 之間重力場為(wei) 零的點。如下圖，在兩(liang) 星球的連線上建立一個(ge) x 軸，假設兩(liang) 星球距離為(wei) D：

由於(yu) planet 給中間區域向左的重力場 gp，而 moon 給中間區域的重力場 gm 是向右的，所以兩(liang) 者連線中必有一點 A，在此處場強 gp 和 gm 相互抵消，即 g = 0。如上圖，假設 A 點距 planet 距離為(wei) x，列式有：


可見，重力場強為(wei) 零的 A 點大約在距離 planet 0.6D 的位置，據此，我們(men) 可以畫出紅色的重力場線：

上圖中由於(yu) planet 質量較大，附近的重力場線要畫得相對密集一些。由於(yu) 等勢線處處垂直於(yu) 重力場線，我們(men) 可在重力場線的基礎上畫出藍色的等勢線如下：

上圖中 A 點即為(wei) 重力場強為(wei) 0 的點，本小問還要點出兩(liang) 個(ge) 天體(ti) 質心的大致位置。粗略估計，與(yu) moon 相比，planet 質量更大，所以質心應該在兩(liang) 者連線中點的左側(ce) 。但為(wei) 了複習(xi) 一下質心公式，我們(men) 做個(ge) 簡單計算，還是假設 planet 為(wei) 原點 x = 0，moon 與(yu) planet 的距離為(wei) D，那麽(me) 可列式計算質心的位置 x：

可見，質心在距離 planet 向右 (1/9)D 的位置，在下圖中以 B 點表示：

(i) 問中，無論是質心 (B 點)、還是重力場零點 (A 點) 的位置，都不需要我們(men) 計算，隻需要定性在圖中點出即可。但為(wei) 了思路清晰，我們(men) 還是進行了計算，這也方便了做第 (ii) 小問。

第 (ii) 問是從(cong) planet 向 moon 發射一枚初速度為(wei) v 的 rocket，這枚火箭剛剛好能抵達 moon，問我們(men) 這枚火箭在哪兒(er) 的速度最小。場景如下圖：

圖中 A 點為(wei) 重力場強零點，此點 planet 和 moon 的重力場相抵消。那麽(me) 在 A 點左側(ce) ，由於(yu) 距離 planet 更近，所以 planet 的重力場更強勢，合場強向左。也就是說在 A 點左側(ce) ，rocket 受到的合力向左，是個(ge) 減速過程。而 A 點右側(ce) 距 moon 更近，moon 的重力場更強勢，所以合場強向右，這一段 rocket 加速。因此，rocket 先減速、經過 A 點後再加速，在 A 點擁有最小速度。A 點位置的表達式我們(men) 在 (i) 小問中已經求出來了，代數到之前紅框中的公式即可求出 distance：

即為(wei)  (ii) 小問答案。

第 (iii) 問涉及到能量守恒，如上圖，如果想讓 rocket 從(cong) planet 表麵 C 點飛到 moon，那麽(me) 在 C 點處的動能 加 引力勢能，應該至少等於(yu) 在 moon 處的動能 加 引力勢能。
但本小問的一個(ge) 難點在於(yu) rocket 是先減速到 A 點，然後再加速的，所以我們(men) 需要滿足 rocket 能達到 A 點，到了 A 點以後加速就一定能達到 moon 了。因此，要列的是從(cong) C 點到 A 點的能量守恒方程。
在 planet 表麵 C 點處，rocket 的能量有：自身的動能、planet 給予的引力勢能、以及 moon 給予的引力勢能，所以在 C 點的總能量 Ec 有：

若想將將達到上圖中的 A 點，那麽(me) 在這個(ge) 臨(lin) 界情況下，rocket 在 A 點的速度是 0，rocket 的總能量 EA 就是 planet 和 moon 給它的引力勢能：

從(cong) C 點到 A 點應滿足能量守恒，列式即可求得速度 v 的表達式：

上式中我們(men) 唯有 planet 的半徑 Rp 不知道，可能是出題者忘了給。但寫(xie) 到這兒(er) ，本題大部分的分也拿到了。