2022年IMO中國國家集訓隊測試（第一、二天）

第一天

1. 圓內接凸六邊形，與交於點，與交於點，、為、的外心．證明：、、三線共點．
2. 為素數，為無窮整數集，證明：存在的元子集，中任意個元素的算術平均數不在中．
3. 、、、、、是正整數，、、，．在中放上枚棋子（一個點上可以放上多枚棋子），並可執行下麵三類操作：
   (1)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子；
   (2)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子；
   (3)在上拿掉枚棋子，在上放一枚棋子．
   求最小的，使得無論如何放棋子，總可以適當操作，使得最後有一枚棋子．

第二天

1. 銳角內接於圓，，的內心為，關於的對稱點為，延長線與延長線交於點，過作與平行的直線交圓中劣弧於（），過作與平行的直線與直線交於．證明：若，則．
2. 為單位圓，、、、為單位圓上的個複數（可以相同）．滿足如下兩個條件：
   (1)對任意長為的開弧，至多有個()在上；
   (2)對任意長為的開弧，至多有個()在上．
   求的最大值．
3. 、、、為有限集的個子集（可以相同），對任意的子集，()的並集元素個數．證明：可以將的元素適當染為黑白二色，使得每個()既包含黑色元素，又包含白色元素．

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