British Physics Olympiad (BPhO) 是英國物理奧賽，分為(wei) 兩(liang) 個(ge) Sections，其中 Section2 共有 5 道大題，每道大題又包含幾個(ge) 不相關(guan) 聯的小題，難度按照小題順序由易到難。參賽者隻需在 5 道大題中選擇 2 道自己有把握的作答即可，每道大題 25 分，兩(liang) 道大題共 50 分，這也是 Section2 的滿分，BPhO 試卷總分為(wei) 100 分。
下麵我們(men) 來看一下 2018 年 BPhO Section2 第3大題的 a) 小問，在看答案解析之前還是自己爭(zheng) 取先做出來：
a) A particle is moving in a horizontal circle and is kept in its path by a string tied to a point at a height h above the centre of the circle.
(i) Find the period of rotation in terms of h and the gravitational field strength g, explaining the physics of your derivation in words.
(ii) If the tension in the string is three times the weight of the particle, find the length of the string l, in terms of h.
(5)
答案解析：解決(jue) (i) 小問首先要在大腦中形成質點作圓周運動的圖景，如下圖所示：
用繩係於(yu) 天花板 A 點的小球 B，以 O 點為(wei) 中心做水平方向的圓周運動。題目中隻告訴了我們(men) A點 到 O 點的豎直距離是 h，還有重力加速度 g，求圓周運動周期 T 與(yu) 這兩(liang) 個(ge) 物理量的關(guan) 係。已知很少，那麽(me) 解題過程中其他物理量大概率能被削掉。
這種運動問題，尤其是圓周運動，離不開受力分析，就畫一下小球 B 的 Free-body diagram：
由上圖可見，其實小球 B 在做圓周運動的過程中隻受兩(liang) 個(ge) 力，重力 mg 和繩的張力 T。由於(yu) 小球在水平麵上作圓周運動，沒有豎直方向的運動，所以豎直方向受力一定為(wei) 0！那麽(me) 我們(men) 將上圖中繩的張力 T 分解到水平和豎直方向，分別得到 Tx 和 Ty，在豎直方向受力平衡，有 mg = Ty。
物體(ti) 的合外力僅(jin) 為(wei) 水平方向的 Tx，這個(ge) 力指向圓心，是徑向力，由於(yu) 沒有圓周切線方向的力，所以推斷這是個(ge) 勻速圓周運動。Tx 也充當了物體(ti) 做圓周運動的向心力，有：
式中 m 為(wei) 小球質量，r 為(wei) 水平圓周運動的半徑，v、ω、T 分別表示勻速圓周運動的速度、角速度、和周期。由於(yu) 求周期 T，我們(men) 就 focus 在周期 T 公式上。綜上所述，水平、豎直兩(liang) 個(ge) 方向得到如下兩(liang) 個(ge) 公式：
已知中給了 AO 的距離 h，而沒給 BO 的距離 r，為(wei) 了將 h 和 r，Tx 和 Ty 相互關(guan) 聯起來，我們(men) 需要巧妙地引入 AO 和 AB 之間的夾角 θ，如上圖所示，在大三角形中，根據幾何關(guan) 係：
(1)在受力分析的小三角形中，類似有：
(2)聯立公式 (1)、(2) 就有：
(ii) 小問已知 T = 3mg，讓求繩長 l 和高度 h 的關(guan) 係。如果把上一問理解透了，那麽(me) 這一問就很簡單了。該小問給了力的三角形中兩(liang) 個(ge) 力的關(guan) 係，求大的幾何三角形中兩(liang) 個(ge) 邊的關(guan) 係，我們(men) 把上圖挪下來：
由上圖，在力的直角三角形中，mg 就是 Ty 這個(ge) 邊，對應 θ 的鄰邊，T 則是 θ 的斜邊，所以：
再看上圖大的幾何三角形，相似地，h 對應 θ 的鄰邊，T 則是 θ 的斜邊：
所以：
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