2018May IB物理SL paper 2 第5題解析

這是一道 standard level (SL) 關(guan) 於(yu) 水力發電的大題，爭(zheng) 取自己做出來，實在不會(hui) 再看答案解析：
In a pump storage hydroelectric system, water is stored in a dam of depth 34 m.

The water leaving the upper lake descends a vertical distance of 110 m and turns the turbine of a generator before exiting into the lower lake.

Water flows out of the upper lake at a rate of  per minute.  The density of water is .

a.i. [2 marks] Estimate the specific energy of water in this storage system, giving an appropriate unit for your answer.

a.ii. [3 marks] Show that the average rate at which the graviational potential energy of the water decreases is 2.5 GW.

a.iii. [1 mark] The storage system produces 1.8 GW of electrical power.  Determine the overall efficiency of the storage system.

b. [1 mark] After the upper lake is emptied it must be refilled with water from the lower lake and this requires energy.  Suggest how the operators of this storage system can still make a profit.

答案解析：
a.i. 這道題考的是 specific energy，即比能量，它的定義(yi) 是單位質量的燃料能產(chan) 生的能量，有公式:

其中 Es 即為(wei) 比能量，specific energy，它本身不是能量，而是燃料產(chan) 生的能量 Q 除以燃料自身的質量，比能量的單位是 J / kg。燃料的比能量越大，我們(men) 從(cong) 中能提取的能量就越多，多多益善。
這道題問 upper lake 中水的比能量，我們(men) 先求出水的能量，再除以其質量就ok了。水壩發電中水的能量是以重力勢能 Ep 的形式體(ti) 現，所以：

式中 h 為(wei) upper lake 中的水距離 lower lake 的高度，由於(yu) upper lake 高 34 m，各層水麵的高度不一樣，我們(men) 可取一個(ge) 中間值，即 34m / 2 = 17 m，再加上水壩高度 110 m，推出 h = 17 m + 110 m = 127 m。
上式中的 g 為(wei) 重力加速度，是常數；質量 m 則不需要求出，因為(wei) 比能量要除以 m，就削掉了：

由於(yu) 已知是兩(liang) 位有效數字，所以結果我們(men) 也要約成兩(liang) 位有效數字。

a.ii. 該小問 3 分，是這道題的主要得分點，難度較大，讓你證明重力勢能下降的平均速率(average rate) 是 2.5 GW。一提到 rate，你應該能反映出來要除以時間 t，能量除以時間 t 是功率，所以最後單位是 W。而 "GW" 中的前綴 G 的含義(yi) 是  。
下麵直接列出重力勢能減少速率的表達式，直觀看一下：

上式中 g 是常數，可以從(cong) "Δ" 符號中提出；隨著水慢慢從(cong) 上遊流到下遊，水麵高度 h 是不斷降低的，但這道題求的是平均速率，所以我們(men) 還是可以用上一小問中的平均高度 h = 127 m，把高度也當為(wei) 常數提出 "Δ" 以外：

g, h 兩(liang) 個(ge) 物理量都搞定了，下麵分析，即單位時間流過渦輪機的水的質量。一個(ge) 關(guan) 鍵已知是一分鍾流下來 體(ti) 積的水，那麽(me) 我們(men) 可以很簡單地認為(wei) 上式中的一段時間  就是一分鍾，即 60 秒，在這段時間裏流過渦輪機的水的體(ti) 積 V 有了，又已知那麽(me) 水的密度 ρ，質量 m = ρV，有：

重力勢能下降 rate 也迎刃而解：

a.iii.理想情況下，重力勢能減少的功率最終都轉化成了發電功率，所以上一問中算出來的 2.5 GW，在沒有能量損失的情況下，即是發電功率。但現實生活中怎麽(me) 可能沒有能量損失呢？
題目中告訴我們(men) 實際發電功率是 1.8 GW，那麽(me) 使用能量效率公式：

b. 這道題問的是 pump storage system 的特點，按理說上遊 2.5 GW 的水的功率，隻能產(chan) 生 1.8 GW 的電功率，能量轉化過程有能量損失。如果再用這 1.8 GW 的電功率反過來把下遊的水抽到上遊，又有能量損失，可能比初始的水量少很多，不劃算。既然一開始已經把水的重力勢能轉化為(wei) 了電能，何必再兜一圈，把電能又轉化回水的重力勢能呢？
這是因為(wei) 一年中電能的價(jia) 格不是固定的，在用電低穀期，電能充足、電費便宜，這時大壩可以買(mai) 一些便宜的電，用電推動水泵把電能轉化成水的重力勢能儲(chu) 存起來；用電高峰期時，電能吃緊、電費貴，這時就可以把儲(chu) 存在高位的水釋放、轉化為(wei) 電能，賣個(ge) 好價(jia) 錢，從(cong) 中獲利。
由於(yu) 這題隻有一份，英文解答很簡單：Water is pumped back up at times when price of electricity is low.

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