2018年英國物理奧賽BPhO Section1 (h)題解析

本題是 2018 年英國物理奧賽 (BPhO) Section 1 試卷的其中一道簡答題，分值 5 分，本題的答題時間盡量控製在分值的1.5至2倍，即7至10分鍾。由於(yu) BPhO 沒有選擇題，題型都是簡答題，所以答題時要盡量先把物理量之間的關(guan) 係式寫(xie) 清楚、不著急代數，把做題思路清晰地呈現給考官，這樣即使最後答案算錯了，隻要思路對、過程也能得分兒(er) 。這道題涉及到圓周運動，需要借用向心力公式：

爭(zheng) 取自己做出來！

h) A small particle of mass m can slide without friction round the inside of a cylindrical hole of radius r, in a rectangular shaped object of mass M.  The rectangular object is held between rigid walls by small wheels so that it can slide up and down without friction, as shown in Figure 2.  If the small particle m is initially at rest at the bottom of the cylindrical hole, and is then given an impulse to give it a speed v, what is the minimum speed v needed to just lift the rectangular mass M off the ground?

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答案解析：
本題問的是：底下的小球 m 需要多大的初速度 v 才能使整個(ge) 長方形物塊 M 被抬起來？那麽(me) 就要思考長方形物塊為(wei) 什麽(me) 會(hui) 被小球抬起來？
通過常識不難想象，如果小球在底下時速度非常快，它會(hui) 繞著圓孔往上走，運動到最高點時，如果它的速度依然很快，就會(hui) 給長方形物塊一個(ge) 向上的力，這個(ge) 力如果大於(yu) 或等於(yu) 長方形物塊的自重 Mg，那麽(me) 就能把它抬起來。由此作一個(ge) 最高點時小球的受力分析圖：

由上圖可見，小球受到自身的重力 mg，如果小球在最高點 B 點速度很快，那麽(me) 自身重力便不足以提供圓周運動向心力，此時長方形物塊會(hui) 給小球一個(ge) 向下的支持力 R。所以根據小球所受合力等於(yu) 圓周運動向心力，可列公式：

式中 vB 即為(wei) 小球在圓周運動最高點的速度，r 為(wei) 圓的半徑。
上式中的 vB 又和小球在最低點 A 點的初速度 v 息息相關(guan) ：從(cong) 能量的角度來看，小球一開始在 A 點時隻有動能，在沿著圓周上升的過程中，它的動能減少、轉化為(wei) 了重力勢能。直到 B 點時，高度距離 A 點為(wei) 二倍的圓周半徑 2r，重力勢能最大、同時也會(hui) 有動能。由此我們(men) 列在 A、B 兩(liang) 點的能量守恒方程，從(cong) 而找到 vB 和 v  的關(guan) 係：

上述推導的一個(ge) 小技巧是明明等式兩(liang) 邊的小球質量 m 可以消去，但因為(wei) 上麵 (1) 式中有 “” 的形式，所以我們(men) 就也寫(xie) 成 “” 的形式，方便代入。於(yu) 是將 (2) 式代入到 (1) 式中、並整理化簡：

上式基本形成了初速度 v 與(yu) 已知物理量的關(guan) 係式，就差在最高點時長方形物塊給小球向下的支持力 R 沒有分析。分別對小球和長方形物塊進行受力分析：

根據牛頓第三定律，小球在受到力 R 的同時，也會(hui) 反過來給長方形物塊一個(ge) 向上的、大小相等的反作用力 R’，大小有 R’ = R 。若要把長方形物塊提起來，則這個(ge) 向上的力 R’ 應大於(yu) 等於(yu) 長方形物塊的自重 Mg，有：

再將這一結果代入上麵算得的 v 的公式：

所以將長方形物塊提起來的最小初速度是：

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