Question 2 是英國物理奧賽 Section 2 試卷的一道大題，這道大題又分為(wei) 6 個(ge) 小問，今天來做一下其中的 a), b) 小問。Section 2 試卷一般有大約五道大題，每道題的主題不一樣，這道大題的主題是：天體(ti) 運動。答題者隻需在五道大題中選擇兩(liang) 道自己比較熟悉的知識主題來解答。每道大題滿分 25 分，兩(liang) 道題就是 50 分。
對於(yu) Section 2 中的每道大題來說，其中的每一個(ge) 小問也沒什麽(me) 相關(guan) 度，就是說即使 a), b) 問都不會(hui) 做，也不會(hui) 影響到做 c) 問，這有助於(yu) 答題者盡可能多地答題、得分。本題的 a), b) 小問並不難，很典型、很常規，涉及到了圓周運動中萬(wan) 有引力和向心力的知識點，我們(men) 知道萬(wan) 有引力的表達式是：
其中 F 為(wei) 兩(liang) 物體(ti) 間的萬(wan) 有引力，M 和 m 是兩(liang) 物體(ti) 各自的質量，r 是兩(liang) 物體(ti) 質心之間的距離，G 是萬(wan) 有引力常數。
向心力的表達式為(wei) ：
其中 F 為(wei) 物體(ti) 做圓周運動所需向心力，m 為(wei) 物體(ti) 質量，r 是圓周運動的半徑，v 是圓周運動的線速度，ω 代表圓周運動的角速度。當涉及到周期 T 時，因為(wei) 角速度 ω = 2π / Τ，所以向心力表達式又有：
爭(zheng) 取自己做出來這道題
a) A planet has a radius R and the gravitational field strength at its surface is g. A satellite is placed in a circular orbit of radius r around the planet.
Obtain an expression for T, the period of orbit of the satellite, in terms of R, g and r, explaining the relevant physics in each of your steps.
b) Both the Earth and Jupiter can be assumed to have circular orbits about the Sun. Jupiter has an orbital period, TJupiter = 11.9 years. What is the orbital radius of Jupiter in au?
Note: an au (astronomical unit) is the average distance between the Earth and the Sun.
(4)
答案解析：
如上圖所示，a) 小問已知行星 (planet) 半徑 R、行星表麵重力加速度 g、以及衛星 (satellite) 的環繞半徑 r，求衛星的環繞周期 T 與(yu) 這三個(ge) 量的關(guan) 係。我們(men) 進一步假設行星和衛星的質量分別為(wei) M、m，標在上圖中。
既然衛星圍繞行星做圓周運動，那麽(me) 衛星所受萬(wan) 有引力 FG 就等於(yu) 它做圓周運動所需的向心力 Fc，這是個(ge) 很典型的等式。又因為(wei) 要求周期 T，所以向心力的表達式用周期 T 展開如下：
仔細觀察上述 (1) 式不難發現，由於(yu) π 和 G 都是常數，那麽(me) 對於(yu) 同一個(ge) 行星、即行星質量 M 不變，衛星環繞周期 T 的平方和衛星的環繞半徑 r 成正比，這也是開普勒第三定律 (Kepler's Third Law)。這個(ge) 定律同樣適應於(yu) 太陽係，繞太陽做圓周運動的諸多衛星中，環繞半徑 r 越大（比如冥王星、海王星），其環繞周期 T 也就越長。
但公式中的常數 G 和 M 題目中沒有給，給的是 g 和 R，需要找到四個(ge) 物理量的關(guan) 係。如上圖，一個(ge) 人在行星表麵的重力 mg 近似等於(yu) 行星中心給他的萬(wan) 有引力，行星中心和人之間的距離即為(wei) 行星半徑 R，列式並化簡：
將結果代入到 (1) 式中，即可求出環繞周期 T 的表達式：
b) 小問說木星 (Jupiter) 環繞太陽的周期是 11.9 年，地球的環繞周期我們(men) 默認 1 年，又知道了地球到太陽的距離是 1 au，要求木星到太陽的距離是幾個(ge) au？這題很典型，已知周期 T 的關(guan) 係，求環繞半徑 r 的關(guan) 係，就要用到上一問推導出來的開普勒第三定律。根據上一問的 (1) 式不難導出，如果太陽質量不變，即 M 不變，有：
即對於(yu) 所有環繞太陽的衛星來說，它們(men) 環繞周期 T 的平方與(yu) 環繞半徑 r 的立方的比值是恒定的，對於(yu) 同時環繞太陽的地球和木星來說就有：
即為(wei) (b) 小問答案。
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