今天來做一下 c) 和 e) 問，把它倆(lia) 放一起是因為(wei) 兩(liang) 問都是研究地球內(nei) 部的情況，物理原理相對簡單，但計算確實複雜，建議找一個(ge) 頭腦清醒、有充裕時間的早晨來研究這兩(liang) 問。
Section 2 試卷中每道大題 25 分，可分配時間為(wei) 40 分鍾，也就是 1 分值的題對應大約 1.6 分鍾。這兩(liang) 道小題一共 7 分，對應時間大約是 11 至 12 分鍾，在這麽(me) 短的時間內(nei) 做完是個(ge) 很高的要求。在我看來，能做出來就已經不錯了；如果控製在 15 分鍾左右，更好。
c) The density of the Earth changes sharply between the core and the mantle. By taking just two suitable values of the density of the core and mantle of the Earth from the graph in Figure 1, estimate a value of the mass of the Earth using this data. Your values and calculation must be shown.
(3)
e) The Earth can be considered to consist of concentric spheres of material, the outer sphere being the crust with a density of 
. If the mass of the Earth is 
, what will be the fractional change in the gravitational field strength when descending to the bottom of a gold mine, a distance d = 3000 m below the surface of the Earth?
Hint: the field inside a hollow spherical shell is zero.
(4)
答案解析：
c) 問運用的物理原理非常簡單，就是物體(ti) 質量 m 等於(yu) 其密度 ρ 乘以體(ti) 積 V，隻不過這道題是涉及到地幔 (Earth Mantle) 和地核 (Earth Core) 的概念，如下圖：
地核 (Earth Core) 是位於(yu) 地球中心的球體(ti) ，而地幔 (Earth Mantle) 是包裹在地核外的一個(ge) 厚厚的球殼。在求解地球總質量時，我們(men) 近似認為(wei) 地球是由地核和地幔組成，忽略地殼 (Earth Crust) 的影響。
首先，我們(men) 關(guan) 注地核部分 (Earth Core) 的質量，如下圖所示：
通過上圖進行數據估讀，由豎直的輔助虛線可以看出，地核部分的半徑大約是 3500 km；整個(ge) 地核的密度不均勻，但由水平的輔助虛線可以看出，平均密度大約在 
。有了球體(ti) 半徑，可求球體(ti) 體(ti) 積；又有了密度，就能求出整個(ge) 地核的質量：
再來分析一下地幔 (Earth Mantle)，它是包裹在地核外部的厚球殼，從(cong) 題目中所給的圖來看，地幔的密度是小於(yu) 地核的：
由上圖水平虛線可看出，地幔的平均密度大約是 
; 兩(liang) 條豎直虛線表明地幔的半徑跨度是從(cong) 3500 km 到 大約 6300 km。
由於(yu) 地幔是個(ge) 厚球殼，其體(ti) 積的計算方法是用地球的總體(ti) 積減去內(nei) 部地核的體(ti) 積，即：
那麽(me) 地幔質量就是：
地球質量則是地核和地幔質量的加和：
由於(yu) 這是道估算題，答案在 
之間都算對，而地球的真實質量是 
，說明以上方法估得比較準確。
e) 問求地表下麵 3000 m 處金礦的引力場強 (gravitational field strength) 相對於(yu) 地球表麵引力場強的變化比例，我們(men) 先將題目描述的情況做如下圖：
圖中 Gold 即為(wei) 金礦所在地，在地表以下 d = 3000 m 的位置處。我們(men) 設地球半徑為(wei) R，注意地球半徑是競賽試卷的已知常數之一：
那麽(me) 圖中金礦距離地心 O 就表示為(wei) R - d，R 和 d 都是已知。
本題非常重要的已知是 Hint: the field inside a hollow spherical shell is zero. 對於(yu) 一個(ge) 球殼來說，其內(nei) 部的引力場強處處為(wei) 零！
為(wei) 什麽(me) 要給出這個(ge) 已知？
由於(yu) 上圖中的 Gold 位於(yu) 地球內(nei) 部，為(wei) 了求此位置的場強，我們(men) 以 O 為(wei) 圓心，以 R - d 為(wei) 半徑，把地球劃分為(wei) 兩(liang) 個(ge) 區域：一個(ge) 是圖中半徑以外的藍色區域；另一個(ge) 是半徑以內(nei) 的綠色區域。
對於(yu) 藍色區域來說，它就是一個(ge) 球殼，已知又暗示了球殼內(nei) 部重力場強處處為(wei) 零，所以這個(ge) 區域在 Gold 處合場強為(wei) 零！
於(yu) 是簡化為(wei) 求綠色區域的球體(ti) 在 Gold 處的引力場強，球體(ti) 表麵的引力場強公式不難推導出，有：
上式中 g' 即是 Gold 處的引力場強，G 是萬(wan) 有引力常數，M2 為(wei) 綠色區域的質量（目前未知），分母中的 R 和 d 都是已知。
由於(yu) 要和地球表麵的重力場強 g 相比較，所以同樣的方法推一下地球表麵的重力場強：
類似推導在本大題 a) 問中也用過，應該比較熟練了。上式中 g 即是地球表麵的引力場強，M 為(wei) 地球質量，分母中的 R 是地球半徑，均為(wei) 已知。
所以 e) 問中要求的 fractional change 可表示為(wei) ：
式中物理量除了 M2 、均為(wei) 已知，求出 M2 本題就迎刃而解了。
現在已知地球總質量 M 和藍色區域的密度 ρ，有了密度、再求出藍色區域球殼體(ti) 積，相乘、就有質量 M1 :
再用地球總質量 M 減去藍色區域的質量 M1 就可得到綠色區域的質量 M2 ：
發現 M1 相對於(yu) 地球質量 M 來說微不足道，所以 M2 和 M 的質量就很接近。將這裏求得的 M2 和其他已知代入到上述 fractional change 的表達式中，代數計算即為(wei) 本題結果：
可見地下 3000 米的金礦引力場強和地球表麵相差無幾，主要是因為(wei) 3000 米相對於(yu) 地球的半徑實在是微不足道。
e)問計算量相當大，而卻隻有 4 分的分值，考試中如果時間緊張，建議先把公式、方法寫(xie) 出來，拿到方法的分兒(er) ，後續有時間的話再進行計算。
BPhO 標準答案中強調了 3000 米遠小於(yu) 地球半徑、以至於(yu) 可以忽略 3000米來近似計算，過程確實簡單許多，但作者認為(wei) 該方法並不完全合理，所以沒有采納。
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