第 1 題. 我們(men) 稱平麵上一個(ge) 有限點集S是平衡的, 如果對S中任意兩(liang) 個(ge) 不同的點A, B, 都存在S中一點C, 滿足AC = BC. 我們(men) 稱S是無中心的, 如果對S中任意三個(ge) 不同的點A, B, C, 都不存在S中一點P , 滿足PA = PB = PC.
證明: 對每個(ge) 整數n> 3, 均存在一個(ge) 由n個(ge) 點構成的平衡點集.
確定所有的整數n> 3, 使得存在一個(ge) 由n個(ge) 點構成的平衡且無中心的點集.
第 2 題. 確定所有三元正整數組(a, b, c), 使得
ab − c, bc − a, ca − b
中的每個(ge) 數都是2的方冪.(2的方冪是指形如2n的整數, 其中n是一個(ge) 非負整數.)
第 3 題. 在銳角三角形ABC中, AB > AC. 設Γ是它的外接圓, H是它的垂心, F 是由頂點A處所引高的垂足. M 是邊BC的中點. Q是Γ上一點, 使得∠HQA = 90◦, K是Γ上一點, 使得∠HKQ = 90◦. 已知點A, B, C, K, Q互不相同, 且按此順序排列在Γ上.
證明: 三角形KQH的外接圓和三角形FKM 的外接圓相切.
第 4 題. 在三角形ABC中, Ω是其外接圓, O是其外心. 以A為(wei) 圓心的一個(ge) 圓Γ與(yu) 線段BC交於(yu) 兩(liang) 點D和E, 使得點B, D, E, C互不相同, 並且按此順序排列在直線BC上. 設F 和G是Γ和Ω的兩(liang) 個(ge) 交點, 並且使得點 A, F , B, C, G按此順序排列在Ω上. 設K是三角形BDF 的外接圓和線段AB的另一個(ge) 交點. 設L是三角形CGE的外接圓和線段CA的另一個(ge) 交點.
假設直線FK和GL不相同, 且相交於(yu) 點X. 證明: X在直線AO上.
第 5 題. 設R是全體(ti) 實數的集合. 求所有的函數f : R → R, 滿足對任意實數x, y, 都有
f (x + f (x + y)) + f (xy) = x + f (x + y) + yf (x).
第 6 題. 整數序列a1, a2, · · · 滿足下列條件:
- 對每個整數j> 1, 有1 時 aj 時 2015;
- 對任意整數1時 k < ℓ, 有k + ak ≠ ℓ + aℓ.
證明: 存在兩(liang) 個(ge) 正整數b和N , 使得
對所有滿足n > m > N 的整數m和n均成立.
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