2016年國際奧數競賽IMO題完整考題-下載

第 1 題.  已知三角形BCF 中, 角B是直角. 在直線CF 上取點A, 使得FA = FB, 且F 在點A和C之間. 取點D, 使得DA = DC, 且AC是∠DAB的內(nei) 角平分線. 取點E, 使得EA = ED, 且AD是∠EAC的內(nei) 角平分線. 設M 是線段CF 的中點. 取點X使得AMXE是一個(ge) 平行四邊形(這裏 AM ||EX, AE||MX).

證明: 直線BD, FX和ME三線共點.

 

第 2 題. 確定所有正整數n, 使得可在一張n × n方格表的每一小方格中填入字母I, M, O之一, 滿足下列條件:

在每一行及每一列中, 恰有三分之一的小方格填入字母I, 三分之一的小方格填入字母M, 三分之一的小方格填入字母O; 並且

在每條對角線上, 若該對角線上的小方格個(ge) 數是三的倍數, 則恰有三分之一的小方格填入字母I,三分之一的小方格填入字母M , 三分之一的小方格填入字母O.

注: 一張n × n方格表的行與(yu) 列按自然的順序標記為(wei) 1至n. 由此每個(ge) 小方格對應於(yu) 一個(ge) 正整數對(i, j), 其中1 ≤ i, j ≤ n. 對n > 1, 這張方格表有兩(liang) 類共計4n − 2條對角線. 一條第一類對角線是由i + j是某個(ge) 常數的所有小方格(i, j)構成, 一條第二類對角線是由i − j是某個(ge) 常數的所有小方格(i, j) 構成.

 

第 3 題. 設P = A1A2 · · · Ak是平麵上的一個(ge) 凸多邊形. 頂點A1, A2, · · · , Ak的縱橫坐標均為(wei) 整數, 且都在一個(ge) 圓上. P 的麵積記為(wei) S. 設n是一個(ge) 正奇數, 滿足P 的每條邊長度的平方是被n整除的整數.

證明: 2S是整數, 且被n整除.

 

第 4 題. 一個(ge) 由正整數構成的集合稱為(wei) 芳香集, 若它至少有兩(liang) 個(ge) 元素, 且其中每個(ge) 元素都與(yu) 其它元素中的至少一個(ge) 元素有公共的素因子. 設P (n) = n² + n + 1. 試問: 正整數b最小為(wei) 何值時能夠存在一個(ge) 非負整數a, 使得集合

{P (a + 1), P (a + 2), · · · , P (a + b)}

是一個(ge) 芳香集?

 

第 5 題. 在黑板上寫(xie) 有方程

(x − 1)(x − 2) · · · (x − 2016) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − 2016),

其中等號兩(liang) 邊各有2016個(ge) 一次因式. 試問: 正整數k最小為(wei) 何值時, 可以在等號兩(liang) 邊擦去這4032個(ge) 一次因式中的恰好k個(ge) , 使得等號每一邊都至少留下一個(ge) 一次因式, 且所得到的方程沒有實數根?

 

第 6 題. 在平麵上有n ≥ 2條線段, 其中任意兩(liang) 條線段都交叉, 且沒有三條線段相交於(yu) 同一點. 傑夫在每條線段上選取一個(ge) 端點並放置一隻青蛙在此端點上, 青蛙麵向另一個(ge) 端點. 接著傑夫會(hui) 拍n − 1次手. 每當他拍一次手時, 每隻青蛙都立即向前跳到它所在線段上的下一個(ge) 交點. 每隻青蛙自始至終不改變跳躍的方向. 傑夫的願望是能夠適當地放置青蛙, 使得在任何時刻不會(hui) 有兩(liang) 隻青蛙落在同一個(ge) 交點上.

證明: 若n是奇數, 則傑夫總能實現他的願望.

證明: 若n是偶數, 則傑夫總不能實現他的願望.