第 1 題. 對每個(ge) 整數 a0 > 1, 定義(yi) 數列 a0 , a1 , a2 , ... 如下: 對於(yu) 任意的 n > 0,
試求滿足下述條件的所有a0: 存在一個(ge) 數 A, 使得對無窮多個(ge) n, 有an = A.
第 2 題. 設 R 是全體(ti) 實數構成的集合. 求所有的函數 f: R ! R, 使得對於(yu) 任意實數 x 和 y, 都有
第 3 題. 一個(ge) 獵人和一隻隱形的兔子在歐氏平麵上玩一個(ge) 遊戲. 已知兔子的起始位置 A0 和獵人的起始位置 B0 重合. 在遊戲進行n-1 回合之後, 兔子位於(yu) 點 An_1 , 而獵人位於(yu) 點 Bn_1 . 在第 n 個(ge) 回 合中, 以下三件事情依次發生.
(i) 兔子以隱形的方式移動到一點An , 使得點An_1 和點An 之間的距離恰為(wei) 1.
(ii) 一個(ge) 定位設備向獵人反饋一個(ge) 點 Pn . 這個(ge) 設備唯一能夠向獵人保證的事情是, 點 Pn 和點 An之間的距離至多為(wei) 1.
(iii) 獵人以可見的方式移動到一點 Bn , 使得點 Bn_1 和點 Bn 之間的距離恰為(wei) 1.
試問, 是否無論兔子如何移動, 也無論定位設備反饋了哪些點, 獵人總能夠適當地選擇她的移動 方式, 使得在 10^9回合之後, 她能夠確保和兔子之間的距離至多是 100?
第 4 題. 設 R 和 S 是圓 Ω 上互異兩(liang) 點, 且 RS 不是直徑. 設 ℓ 是圓 Ω 在點 R 處的切線. 平麵上一 點 T 滿足, 點 S 是線段 RT 的中點. J 是圓 Ω 的劣弧 RS 上一點, 使得三角形 JST 的外接圓 Γ 交ℓ 於(yu) 兩(liang) 個(ge) 不同點. 記 Γ 與(yu) ℓ 的交點中接近 R 的那個(ge) 為(wei) A. 直線 AJ 交圓 Ω 於(yu) 另一點 K. 證明, 直線 KT 和圓 Γ 相切.
第 5 題. 給定整數 N ≥ 2. N(N + 1) 個(ge) 身高兩(liang) 兩(liang) 不同的足球隊員站成一排. 球隊教練希望從(cong) 這些 球員中移走 N(N-1)人, 使得這一排上剩下的 2N 名球員滿足如下 N 個(ge) 條件:
(1) 他們(men) 當中身高最高的兩(liang) 名球員之間沒有別的球員,
(2) 他們(men) 當中身高第三和第四的兩(liang) 名球員之間沒有別的球員,
(N) 他們(men) 當中身高最矮的兩(liang) 名球員之間沒有別的球員.
證明, 這總是可以做到的.
第 6 題. 一個(ge) 本原格點是一個(ge) 有序整數對 (x, y), 其中 x 和 y 的最大公約數是 1. 給定一個(ge) 有限的 本原格點集 S, 證明, 存在一個(ge) 正整數 n 和整數 a0 , a1 , ..., an , 使得對於(yu) S 中的每一個(ge) (x, y), 都成立:
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