2022年英國數學奧林匹克（第二輪）中文翻譯

英國數學奧林匹克（British Mathematical Olympiad，簡稱BMO）是英國的數學競賽，英國國際數學奧林匹克代表隊選拔過程的一部分。比賽分兩輪，稱為BMO1和BMO2。
第一輪一般在每年12月舉行，第二輪在次年的一月底或二月初舉行。兩輪的考試時間均為3.5小時，第一輪共6題，第二輪共4題。
今年第一輪的試題翻譯見：。

1. 對給定的正整數，如果整數同時滿足如下兩個條件，則稱為-數：

• 能表示為兩個相差的整數之積；
• 恰比某個完全平方數小． 求所有整數，使得存在無窮多個-數．

1. 求所有函數：，使得對任意正整數，，均有
2. 將副完全相同的牌組放入一些盒子中，每副牌組包含張牌，標記為到．每個盒子中最多能放張牌．如果一堆盒子中所包含的每種標記的牌總數相同，則稱這堆盒子是規則的．證明：存在正整數，對任意，都可以將所有盒子分成兩個非空的規則堆．
3. 設銳角三角形的外接圓為．過、分別作的垂線、．點在劣弧上，過點作的切線和、分別交於點和點．過點作的垂線，過點作的垂線，兩垂線交於點．若點在上，求證：過點．