Mathematical Reflections 2022年第一期征解題

注：由於(yu) 部分字符無法加載導致題目不完成，完整題目截圖已經放在文章最後，請自行查看。

Junior Problems

J577． 正實數，滿足．求證：

J578． 設為(wei) 正實數，．已知，求的值．

J579． 求所有整數對滿足

J580． 求方程的實數解：

J581． 實數，，，滿足求證：

J582． 四邊形內(nei) 接於(yu) 圓，圓心為(wei) ．直線和相交於(yu) 點，為(wei) 的外接圓．直線再次交於(yu) 點，直線再次交於(yu) 點．已知凸六邊形的麵積為(wei) ．求．

Senior Problems

S577． 整數，，滿足．求證：

不為(wei) 奇數的平方．

S578． 正實數，，滿足．求證：

S579． 以，，為(wei) 三邊的三角形麵積為(wei) ．正實數，，滿足

求證：

S580． 求證：不存在正整數，，滿足

S581． 素數滿足．求證：存在正整數滿足

S582． 數列定義(yi) 如下：，，且對於(yu) 任意，都有

求所有正整數，使得存在，滿足．

Undergraduate Problems

U577． 對正整數，計算其中表示的小數部分．

U578． 計算：其中．

U579． 設為(wei) 整數，為(wei) 整係數多項式．數列定義(yi) 如下：對任意，．求證：對任意正整數，存在正整數，使得

對任意足夠大的恒成立．

U580． 已知兩(liang) 個(ge) 半徑為(wei) 且相切的圓，和它們(men) 的一條外公切線．左邊的圓為(wei) 白色的，右邊的圓為(wei) 灰色的．第三個(ge) 較小的圓與(yu) 較大的兩(liang) 個(ge) 圓、公切線同時相切，且也是灰色的．按照如下規則插入無窮多個(ge) 灰色圓：後續的每個(ge) 圓和它前一個(ge) 圓、最大的灰色圓、白色圓均相切．求灰色圓覆蓋的總麵積．

U581． 正實數，且和互素．互異的非常數複係數多項式和滿足

求證：，．

U582． 設：為(wei) 二階可微函數，：滿足．記為(wei) 的Hessian矩陣，用表示．

Olympiad Problems

O577． 正實數，，，滿足

且不存在其中兩(liang) 個(ge) 數小於(yu) ，另兩(liang) 個(ge) 數大於(yu) 的情況．求證：

O578． 求方程的正整數解：

O579． 正實數，，滿足．求證：

O580． 在中，求證：

O581． 設為(wei) 不等邊的非直角三角形．三條高分別為(wei) ，，，三邊中點分別為(wei) ，，．為(wei) 的重心，為(wei) 的九點圓圓心．和交於(yu) 點，和交於(yu) 點．已知和平行，求證：平行於(yu) 的歐拉線．

O582． 為(wei) 內(nei) 部一點，為(wei) 關(guan) 於(yu) 的等角共軛點．和分別為(wei) 和在上的投影．和分別為(wei) 和與(yu) 外接圓的另一個(ge) 交點．求證：和交於(yu) 直線上．