2021哈佛麻省數學競賽冬季賽團體賽試題中文翻譯

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1.平行四邊形中, 分別為(wei) 中點. 過作直線與(yu) 線段分別交於(yu) 點.若,求的長.

2.黑板上原本寫(xie) 有一個(ge) 方程組, 其中每個(ge) 方程都是或的形式. 某人來到黑板錢, 擦掉了所有的加號和乘號, 得到了如下的式子:

若為(wei) 原方程組的整數解, 求 .

3.正整數滿足,的前個(ge) 倍數的和為(wei) , 的前個(ge) 倍數的和為(wei) . 求的前個(ge) 倍數的和.

4.若十位數為(wei) 的倍數, 且它的各位數字是非增加的,(即對任意 , 均有), 就稱這個(ge) 十位數是"好的". 求"好的"十位數的個(ge) 數.

5.將個(ge) 國際象棋的馬放置在的棋盤中, 使得他們(men) 中的任意兩(liang) 個(ge) 棋子互相都不能攻擊, 有多少種方法? 注: 若兩(liang) 個(ge) 馬的距離恰為(wei) , 則它們(men) 可以互相攻擊.

6.對坐標平麵內(nei) 的兩(liang) 點和, 定義(yi) 他們(men) 的出租車距離為(wei) . 現在有一個(ge) 正八邊形, 其中一條邊的兩(liang) 個(ge) 端點為(wei) 和 . 定義(yi) 為(wei) 所有"到正八邊形的某個(ge) 頂點的出租車距離不超過的點"組成的集合. 若的麵積可以表示為(wei) , 其中為(wei) 互質的正整數, 求.

7.已知為(wei) 方程的三個(ge) 根. 若

可以表示為(wei) , 其中為(wei) 互質的正整數, 求.

8.甲乙兩(liang) 人在白板上玩一個(ge) 遊戲. 由甲先開始, 兩(liang) 人輪流進行如下操作:
在甲的回合, 他在黑板上任選兩(liang) 個(ge) 數, 將他們(men) 替換為(wei) 他們(men) 的乘積;
在乙的回合, 他在黑板上任選兩(liang) 個(ge) 數, 將他們(men) 替換為(wei) 他們(men) 的和;
當黑板上隻剩一個(ge) 數時,遊戲結束, 若這個(ge) 數為(wei) 奇數, 甲獲勝, 否則乙獲勝.
初始時, 黑板上有個(ge) 整數, 每個(ge) 都是從(cong) 集合中隨機抽取的. 若甲乙兩(liang) 人都采用最理想的策略進行遊戲, 則甲獲勝的概率可以表示為(wei) , 其中為(wei) 互質的正整數, 求被除的餘(yu) 數.

9.設為(wei) 滿足如下條件的最小正整數:
整除

求被除的餘(yu) 數.

10.單位立方體(ti) 中的三個(ge) 麵過同一個(ge) 頂點. 設在給定平麵上的投影麵積分別為(wei) . 若 , 可以表示為(wei) , 其中為(wei) 互質的正整數, 求.