2021年荷蘭數學奧林匹克試題中文翻譯

注：由於(yu) 部分字符無法加載導致題目不完成，完整題目截圖已經放在文章最後，請自行查看。

1. Niek有塊正方形卡片，每塊的一麵為黃色，另一麵為紅色．他將卡片擺成一個的大正方形，其中一些卡片黃色一麵朝上，一些卡片紅色一麵朝上．對於每種擺放方式，如下計算其“單色性”．對每一對有公共邊的卡片，按如下規則分別記為或：如果兩塊有公共邊的卡片顏色相同，則記為；如果兩塊有公共邊的卡片顏色不同，則記為．然後將所有得到的數全部相加（結果可能為負）．例如，如果將卡片如下圖擺放，則存在對有公共邊的卡片顏色相同，存在對有公共邊的卡片顏色不同．因此，上圖的“單色性”為：．Niek考察了所有卡片的擺放方法，並列出所有能取得的“單色性”的值．
   (a)求出Niek列出的數中最大的三個數，並說明理由．
   (b)求出Niek列出的數中最小的三個數，並說明理由．
   (c)求出Niek列出的數中最小的正數，並說明理由．
2. 有()支隊伍參加一次比賽，其中每兩支隊伍至多進行一場比賽．如果任意四支參賽隊伍之間恰好進行了三場比賽，則稱這次比賽是“平衡的”．求的最大值，使得存在支隊伍參加的“平衡的”比賽．
3. 一隻青蛙在平麵上的網格點上跳來跳去，每次從一個網格點跳到另一個網格點．青蛙從點出發，依次進行如下跳躍：水平方向跳躍個單位長度，豎直方向跳躍個單位長度，水平方向跳躍個單位長度，豎直方向跳躍個單位長度求所有的正整數，使得青蛙能在次跳躍後回到點．
4. 在中，．點為的中點，過作的平行線交於點．的中點為點，．求證：
   (a)和相似．
   (b)．

1. 正整數滿足：對的任意正約數，都有．求證：為素數．