2021哈佛麻省數學競賽冬季賽主題賽中文翻譯

注：由於(yu) 部分字符無法加載導致題目不完成，完整題目截圖已經放在文章最後，請自行查看。

1.設本題的答案為(wei) . 銳角中, 的角平分線交於(yu) , 過作於(yu) . 線段交於(yu) 點, 且. 已知, 求.

2.設本題的答案為(wei) . 甕中有個(ge) 白球, 以及至少個(ge) 黑球. 現在依次從(cong) 甕中取出兩(liang) 個(ge) 球(不放回). 求第一個(ge) 球為(wei) 白球且第二個(ge) 球為(wei) 黑球的概率(用百分比表示).

3.設本題的答案為(wei) . 六邊形內(nei) 接於(yu) 半徑為(wei) 的圓. 若的麵積為(wei) ,. 求的麵積.

4.設本題的答案為(wei) . 對年的某個(ge) 日期, 將其表示為(wei) 的形式, 然後各位數字求和, 稱為(wei) 這個(ge) 日期對應的數字和.(例如,5月13日寫(xie) 作,其數字和為(wei) . 求年所有數字和等於(yu) 的日期的個(ge) 數.

5.設本題的答案為(wei) . 實係數多項式恰有個(ge) 實根, 求的所有可能值之和.

6.設本題的答案為(wei) . 正整數滿足求的值.

7.設本題的答案為(wei) . 初始時, 盒子中有個(ge) 球, 盒子中的球的個(ge) 數為(wei) 的一半. 將中的個(ge) 球移到盒子中, 此時中球的個(ge) 數與(yu) 中球的個(ge) 數之比為(wei) , 其中為(wei) 互質的正整數. 求 .

8.設本題的答案為(wei) . 求周長為(wei) 的,三邊長均為(wei) 整數, 且互不全等的非退化三角形的個(ge) 數.

9.設本題的答案為(wei) . 現在需要給的所有約數染色, 使得任意兩(liang) 個(ge) 滿足的互異約數所染顏色互不相同, 則至少需要多少種顏色?

10.設本題的答案為(wei) . 正方形的邊長為(wei) . 作兩(liang) 個(ge) 邊長為(wei) 的兩(liang) 個(ge) 全等且互不重疊的正方形, , 使得共線, 在上, 在上, 為(wei) 正三角形. 設的麵積可以表示為(wei) , 其中為(wei) 正整數, 不含平方因子, 求.

完整截圖版