2022年美賽B題解題思路分享

2022年美賽B題的背景主要講述了幾個(ge) 世紀以來，人們(men) 通過在河流上建造水壩來儲(chu) 水，並且通過水輪機進行水力發電。但是隨著氣候變化，許多地區的水壩水庫供水量正在減少，所以可能會(hui) 導致供水和供電不足。並且這個(ge) 背景中給了一個(ge) 很重要的信息，如果大壩後麵水庫的水位足夠低，那麽(me) 水力發電就會(hui) 停止，這與(yu) 後續解答的題目有相應的關(guan) 聯。

然後告訴我們(men) 美國的5個(ge) 州：美國亞(ya) 利桑那州(AZ)、加利福尼亞(ya) 州(CA)、懷俄明州(WY)、新墨西哥州(NM) 和科羅拉多州(CO)，對水資源和電力生產(chan) 的分配在進行博弈。他們(men) 需要通過格林峽穀大壩和胡佛水壩資源分配來解決(jue) 相互利益的競爭(zheng) ，並且這些協議要從(cong) 科羅拉多河係統分配一定的水量。

附加指導中給了我們(men) 5個(ge) 比較重要的信息：

①從(cong) 格林峽穀大壩流出的水為(wei) 胡佛大壩提供了部分水輸入。

②要考慮農(nong) 業(ye) 、工業(ye) 和住宅用水與(yu) 電力的合適分配。

③要從(cong) 格林峽穀大壩和胡佛水壩獲取相應的水量；

④墨西哥對五個(ge) 州消耗其份額後剩餘(yu) 的水提出索賠。

⑤允許多少水（如果有）從(cong) 科羅拉多河流入加利福尼亞(ya) 灣。這些信息對我們(men) 後續的解題很有幫助。

美賽B題是有4個(ge) 問題：第一問又可分為(wei) 三個(ge) 小問。

首先第一問，當米德湖的水位為(wei) M 且鮑威爾湖的水位為(wei) P時，應從(cong) 每個(ge) 湖泊抽取多少水以滿足規定的需求？首先我們(men) 查詢地圖可以發現鮑威爾湖和米德湖其實就是一個(ge) 水力發電的上層湖泊和下層湖泊，中間的大壩就是格林峽穀大壩，然後米德湖的下遊又連接有胡佛大壩，也就是說這兩(liang) 個(ge) 湖泊和兩(liang) 個(ge) 大壩其實是順位連接的關(guan) 係。

我們(men) 可以畫出它的一個(ge) 示意圖：

每個(ge) 湖泊有水補充，像是下雨和其他流域水流入，補充的水量是，並且也有水流出減少，像是水分蒸發和水流出至其他流域，減少的水量，然後還有一部分水是用於(yu) 發電，通過大壩，然後流入米德湖的水體(ti) 積是，然後同樣的米德湖也有像降雨等的補充，還有其他水流匯入的。考慮到鮑威爾湖的部分水從(cong) 格林峽穀大壩發電後流入米德湖，故還有體(ti) 積的水流入米德湖，還有像蒸發等損耗的，還有用於(yu) 胡佛大壩發電的。

所以我們(men) 可以據此寫(xie) 出任意t時刻鮑威爾湖和米德湖中湖水的體(ti) 積：

_（1）

然後我們(men) 再考慮用電，根據題意，水力發電是將水的重力勢能轉化為(wei) 水輪機的機械能，進一步轉化為(wei) 電能，畫出水力發電示意圖：

考慮上層湖泊減少一小部分水時，可以近似認為(wei) 是上層湖泊薄薄一層水膜下降至下層水庫上方形成薄薄一層水膜，所以水重心下降的高度差近似認為(wei) 是兩(liang) 個(ge) 湖泊的水麵高度之差h，水的重力勢能就是水的重量mg乘以水麵高度差h，考慮到發電能量的損耗，引入轉化率η，得到發電電能公式和電功率公式：

_（2）

（3）

又因為(wei) 將發電水的體(ti) 積用流量Q表示，可得：

（4）

因為(wei) 在2個(ge) 大壩發電之後，要通過電網運輸到5個(ge) 州之中，在路途上也會(hui) 有電的損耗，我們(men) 就考慮從(cong) i地區到j地區電功率的損耗，定義(yi) 電線的單位長度電阻為(wei) ，電線總長度為(wei) ，V為(wei) 用電電壓，表達式如下：

_（5）

然後考慮到它是有兩(liang) 個(ge) 大壩進行發電，而每個(ge) 地區從(cong) 兩(liang) 個(ge) 大壩中獲取的電量的占比不同，我們(men) 可以假設每州獲取的電量中格林峽穀大壩供電所占比例為(wei) （i=1，2 … 5），米德湖發電的占比自然就是（1-），每個(ge) 州所需的電功率為(wei) 這樣就可以列出總發電的電功率的表達式：

_（6）

同樣地，我們(men) 可以令每個(ge) 州從(cong) 鮑威爾湖中獲取到水量與(yu) 每州所需水量的比值是，同樣的寫(xie) 出各個(ge) 州從(cong) 鮑勃爾湖中獲取水的體(ti) 積——是每個(ge) 州對鮑勃爾湖用水的體(ti) 積之和，加上鮑威爾湖用於(yu) 發電的用水體(ti) 積和，發電用水量我們(men) 可以用一個(ge) 積分進行表示。

（7）

然後通過我們(men) 已知的各種的數據，通過電功率表達式可以求出用於(yu) 發電的水流量Q求出流量Q之後，我們(men) 可以得到發電用的水量，然後我們(men) 再加上生活用水的水量，即可得到我們(men) 所需要抽掉的水量。和就是我們(men) 的答案。

第二小問我們(men) 要求如果沒有額外水補充，這個(ge) 係統在滿足需要的條件下能夠維持多長時間。

首先我們(men) 的背景中給了一個(ge) 比較重要的信息，就是當水位高度足夠低時，水力發電會(hui) 停止，這給我們(men) 一個(ge) 暗示，不考慮其他因素情況下，隻要水庫中有水，我們(men) 就可以不斷抽調水資源，所以用水的最低水位幾乎等於(yu) 0，但是用電的最低水位就高於(yu) 0了，所以當上層湖泊水位降低時，是先停止發電，然後再無法用水。

考慮到下層湖泊有上層湖泊水流入，上下湖泊的水麵高度差h隨著時間的增加而逐漸降低，考慮到水輪機的發電其實是由水重力勢能轉化為(wei) 機械能進一步轉化為(wei) 電能。由（4）可知——電能E是和h與(yu) 成正比的，當h逐漸減小時，電能E也會(hui) 減少。當水麵的高度降低到一定高度時，水發電一天產(chan) 生最大電能會(hui) 小於(yu) 每州日所需電能，就造成了發電短缺，這個(ge) 時候就是我們(men) 需要考慮的堅持最長時間的一個(ge) 臨(lin) 界值。可以通過數據求出一天24小時水力發電的電能和所需的日供電能相等時的水麵高度差。為(wei) 簡化計算，我們(men) 將湖泊簡化為(wei) 圓柱體(ti) ，底麵積是S，每天消耗水體(ti) 積是，第i天湖麵高度差為(wei) 每天消耗水體(ti) 積換算圓柱體(ti) 積示意圖：

T=1天，每天發電時間，發電水流量是，臨(lin) 界條件下可列出以下遞推公式:

（8）

化簡得：

（9）

當求出第i+1天水麵高度差小於(yu) 時，此時i即是可堅持天數，即最終答案。

 

 

第三小問問我們(men) 多長時間額外加一次水可以滿足需求。由第二小問可知，當h逐漸減小時，發電電能E也會(hui) 減少，當我們(men) 需要給居民提供額定的電量的時候，我們(men) 發電時所要消耗的水量就需要相應的增多，也就是說隨著時間的增長，我們(men) 的水麵高度越低，我們(men) 每次需要發電用水的水量越多，我們(men) 的水麵的高度下降的速率也就越大。

可以得出湖麵高度差h與(yu) 時間t不是成一個(ge) 線性關(guan) 係——當時間增加，h也會(hui) 下降的越來越快，h-t圖像可以近似擬合成一個(ge) 冪函數圖像，且h有越來越快的下降的趨勢。所以畫出一個(ge) 比較簡易的一個(ge) 示意圖：

所以這裏就直接把它離散化考慮，結合用水體(ti) 積V=S（）和（9）直接求1，2，3……n（）天時各加一次水，需要加多少水，然後通過圖表等形式將結果表示。

第二問我們(men) 要考慮各州的收益，就可以考慮用淨利潤這個(ge) 指標代表他們(men) 的收益。首先淨利潤=利潤-成本（即），我們(men) 就可以寫(xie) 一個(ge) 淨利潤函數：

（10）

其中P代表profit利潤，R代表revenue收入，然後C代表cost成本，而考慮到水供給減少時候，單位量水的水費和電費其實是呈一個(ge) 上漲趨勢的，獲得相同量的水與(yu) 電能需要支付更多的成本，這會(hui) 帶來各州的收益的減少。所以我們(men) 先令原本每立方米的水費為(wei) ，由於(yu) 水供給的減少使每立方米的水位上漲，為(wei) 了簡化計算，考慮單位質量水的水費與(yu) 供水量成一個(ge) 反比的關(guan) 係的，而水費下降會(hui) 使我們(men) 收益上升，可以畫出一個(ge) 比較簡單的示意圖來表示它們(men) 之間的關(guan) 係：

然後我們(men) 定義(yi) 新水費與(yu) 的比值是然後我們(men) 可以寫(xie) 出收益隨著水量的變化的表達式：

（11）

其中是它的水量的變化，然後可以發現如果水量減少，會(hui) 造成新水費比原水費的費用高，使等式右邊變化費用小於(yu) 零，使收益負增長，即使小於(yu) 0，這也是符合我們(men) 直觀認知的。

所以通過把Δ變成d解一個(ge) 微分方程可以求出以下的表達式：

（12）

然後我們(men) 再考慮成本，它其實是與(yu) 水的水量是有關(guan) 的，因為(wei) 水通過各個(ge) 管道運輸所產(chan) 生的成本是跟水的體(ti) 積成一個(ge) 近似正比的關(guan) 係的，運輸水量越大成本越高。我們(men) 就簡化計算考慮它與(yu) 水供應量成正比。在背景中有告訴我們(men) ，墨西哥對5個(ge) 州消耗其份額後剩餘(yu) 的水提出索賠，所以我們(men) 也需要考慮墨西哥的索賠的要求。

假設我們(men) 居民等所需的水量是，當水量小於(yu) 的時候，隨著供水量的增加，產(chan) 生的收益應當是增加的，因為(wei) 當水量不足的情況下，供水增加可以帶來的收益會(hui) 非常大，這裏可以參考經濟學的邊際效應在商品量比較小時的增長態勢。當水量超過的時候，墨西哥開始索賠，它的成本其實是呈一個(ge) 上漲的情況，使水量增加成本快速增加，這個(ge) 增長也是符合邊際效應商品量過大的情況。所以我們(men) 就需要綜合考慮利用邊際效應對應求解。

當供水量恰好為(wei) 的時候，將達到收益最大值，當各個(ge) 州繼續增加調用的水量的時候，收益將減小，這樣也可以讓各個(ge) 州的用水量盡量穩定在一個(ge) 值的附近，不僅(jin) 使各州收益較大也可以保護科羅拉多河的剩餘(yu) 水量，示意圖如下：

所以我們(men) 寫(xie) 出一個(ge) 索賠函數：

（13）

就是比例係數k乘以5個(ge) 州總的超額調取水量的次方，然後通過各個(ge) 州實際超額調用水量按比例進行索賠，綜合用水和用於(yu) 發電的供水兩(liang) 部分考慮，可以得到每個(ge) 州的實際應索賠函數：

_（14）

其中分別代表各州在用水和發電用水過量時的索賠函數。綜合兩(liang) 部分來看，可以得到成本函數：

（15）

最後利用淨利潤公式求出各州的淨利潤。現在來考慮如何決(jue) 策分配。如果我們(men) 繼續考慮集體(ti) 的總淨利潤最大，則完全可以把每個(ge) 州的淨利潤加起來，求最大值，然後得出每個(ge) 州的水分的一個(ge) 分配調動值，但是這樣是不是最優(you) 的呢？

進一步考慮，集體(ti) 淨利潤最大並不代表著每個(ge) 州各自獲得自身的利益最大值，各個(ge) 州之間並不是合作關(guan) 係，而是處於(yu) 一種競爭(zheng) 的態勢，所以我們(men) 要達到每個(ge) 州各自利益最大化。因此我們(men) 需要運用博弈的思想——考慮納什均衡。

納什均衡是指任何一位玩家在此策略組合下單方麵改變自己的策略，其他玩家策略不變情況下，都不會(hui) 提高自身的收益。所以我們(men) 利用這個(ge) 定義(yi) 來考慮各州行動。各州采用納什均衡策略行動定義(yi) 為(wei) ，不采用納什均衡策略定義(yi) 為(wei) ，那麽(me) 第i個(ge) 州不采用納什均衡策略，而其他州均采用納什均衡策略情況下，第i個(ge) 州的收益會(hui) 小於(yu) 等於(yu) 第i各州采用納什均衡策略產(chan) 生的收益：

（16）

每個(ge) 州都采用納什均衡策略產(chan) 生收益就大於(yu) 其中一任何一個(ge) 州不采用拉斯均衡策略所產(chan) 生的收益。每個(ge) 州都這樣考慮，得到最終解。求解納什均衡產(chan) 生收益最大值的點也是和求解邊際效應思路有點像，我們(men) 就可以用收益對供水量求偏導來求出每個(ge) 州的收益，其偏導等於(yu) 0時，就得到了對應的某一策略下的利益最大化，可以用牛頓迭代法求解。偏導等式如下：

（17）

第三問，其實在美國的United States Army Corps of Engineers（USACE），已經給出了一個(ge) 缺水指標：

（18）

缺水指標中是一個(ge) 常數，它代表的是水資源短缺對州的一個(ge) 影響的程度。是每個(ge) 州的缺水量，N就是州的個(ge) 數，在此題中就是5，然後是總的缺水的一個(ge) 體(ti) 積，然後k是一個(ge) 指數，根據他們(men) 的調查研究可以發現k是近似等於(yu) 2的，所以我們(men) 可以利用缺水指數來求解，即根據各個(ge) 州的缺水指數按比例進行一個(ge) 分配即可：

（19）

第四問其實更像是一個(ge) 開放性的試題，在以下條件下，您的模型表示什麽(me) ？

o社區對水和電的需求會(hui) 隨著時間而變化。當受影響地區出現人口、農(nong) 業(ye) 和工業(ye) 增長或收縮時會(hui) 發生什麽(me) ？

o可再生能源技術的比例超過了您分析中使用的初始值。

o實施了額外的節水節電措施。

①當受影響地區的人口、農(nong) 業(ye) 和工業(ye) 增長時，影響的是對水供應量的需求。需要水供給增加，邊際效應對應收益最大時的水需求量上升。墨西哥獲得索賠可能會(hui) 減少並且科羅拉多河剩餘(yu) 水量也減少。

②可再生能源的使用會(hui) 使水力發電的發電量需求降低，發電用水水流量Q會(hui) 一定程度下降，水供應中農(nong) 業(ye) 工業(ye) 生活所需用水部分占比增加。

③農(nong) 業(ye) 、工業(ye) 、居民用水和用電量減少，第一問中沒有額外水補充係統能維持時間t增加，第二問產(chan) 生邊際效應時的水供應量會(hui) 減少，墨西哥要求索賠起始供水量會(hui) 下降。

我們(men) 就可以以此來解答。額外指導中“允許多少水（如果有）從(cong) 科羅拉多河流入加利福尼亞(ya) 灣。”也可以查詢相應資料，考慮科羅拉多河剩餘(yu) 水量足以維持生態平衡還有加利福利亞(ya) 灣能接收額外水量範圍等因素後得出相應範圍。

最後題目要求一到兩(liang) 頁的文章，介紹你的發現，適合在《幹旱與(yu) 饑渴》雜誌上發表，並解釋這是一份麵向美國西南部水基礎設施管理人員的月刊。而發表雜誌文章因為(wei) 受眾(zhong) 是水基礎設施管理人員等非資深專(zhuan) 家人士，而且要符合雜誌的文章文體(ti) ，要有更多的審美元素。

比如可以用更多的對比，更醒目的題目，更豐(feng) 富的色彩，更簡明的內(nei) 容，使用更多的圖片來吸引更多的閱讀受眾(zhong) 的興(xing) 趣，真真正正把理論研究普及化，隨著雜誌走入他們(men) 心中。 最後我們(men) 發現像是鮑勃爾湖還有米德湖等湖泊的水位，其實是呈一個(ge) 逐年下降的趨勢的，而美賽此次給出的題目，讓我們(men) 思考像這些湖泊在逐年的時間的演變中，它的水位越來越低，甚至到了一個(ge) 很危險的態勢，進而引發一係列對水資源分配的競爭(zheng) 。

這道題的求解，我們(men) 不僅(jin) 僅(jin) 是得到了一個(ge) 答案，更是讓我們(men) 主動發現並得到警醒——要保護自然資源。我們(men) 人類不能單純的為(wei) 了自身的發展而忽略了對自然的保護，對自然的資源造成無法恢複的損害，讓我們(men) 自身所處的環境越來越惡劣，讓我們(men) 的後代處於(yu) 無資源可用的境地，這都是我們(men) 需要警醒的。

保護水資源等自然資源不僅(jin) 僅(jin) 是保護自己地區內(nei) 的資源，為(wei) 了自己以後對資源的使用，更是要在人類命運共同體(ti) 的框架下進行全球資源的可持續發展的保護運用，這樣才可以為(wei) 自己為(wei) 子孫後代為(wei) 全人類的可持續發展做出應有的貢獻。

以上即是結合往屆優(you) 秀論文與(yu) 自己的靈感後對2022年美賽B題的一點思考。