2021年CMO第5題與作圖遊戲歐幾裏得

接著上篇文章，2021年CMO的第二天的第二題——即第5題也是一個(ge) 幾何題。是一個(ge) 尺規作圖問題，題目如下：
這個(ge) 題目初看很簡單，如果不要求步數，√2021一定能尺規作圖作出來，因為(wei) 我們(men) 可以尺規作出邊長為(wei) 1的等腰直角三角形，其斜邊為(wei) √2，再以√2和1為(wei) 直角邊作直角三角形，則其斜邊為(wei) √3，...依此類推，以√n和1為(wei) 直角邊做出直角三角形，則其斜邊即為(wei) √(n+1),
如下圖所示，像一個(ge) 美麗(li) 的貝殼。所以首先我們(men) 確定了√2021一定能尺規作圖作出來的。

當然，這是一個(ge) 笨方法，有很多方法可以提高效率，減少作圖步驟。為(wei) 了避免引起爭(zheng) 議和混亂(luan) ，這裏需要先明確一下幾何中尺規作圖有哪些基本步驟，一般是指以下兩(liang) 個(ge) ：
（1）經過兩(liang) 點可以引一條直線（或在兩(liang) 點間可以聯結線段）；
（2）以定點為(wei) 圓心，圖形中某個(ge) 給定的線段長為(wei) 半徑可以作一個(ge) 圓（或一段弧）。

下麵考慮本問題，如何盡可能快的用尺規作出√2021？
基本的想法當然是將其放到一個(ge) 其餘(yu) 兩(liang) 邊長為(wei) 整數的直角三角形中。考慮最接近2021的完全平方數，容易知道45*45=2025，從(cong) 而2021=45*45-2*2是一個(ge) 最自然的選擇。
下麵就是兩(liang) 個(ge) 問題，一個(ge) 要作出長度為(wei) 45的線段，還要將其作為(wei) 斜邊，2為(wei) 一條直角邊作出一個(ge) 直角三角形。
考慮“效率”最高的作線段的方式，即二分法：太極生兩(liang) 儀(yi) ，兩(liang) 儀(yi) 生四象，四象生八卦...
即先作半徑為(wei) 1的圓其直徑為(wei) 2，再做半徑為(wei) 2的圓，直徑為(wei) 4，再依次作出8，16，32.
而最快的得到45的方式是45=32+8+4+2+1。如下圖所示，其中GH=45.

下麵考慮如何盡快作出以45為(wei) 斜邊，2為(wei) 直角邊的直角三角形。最容易想到的是作出以45為(wei) 直徑的圓，然後以直徑一端為(wei) 圓心2為(wei) 半徑畫圓與(yu) 此圓交點，此點與(yu) 另一端點的連線即為(wei) 所求的√2021。要作以45為(wei) 直徑的圓，需要先作出其垂直平分線得到其中點，這樣畫出來的圖如下所示：

數一下發現用了10個(ge) 圓和三條直線，即用了13條直線或者圓，題目要求不超過10個(ge) 圓或者直線，所以不滿足條件！
下麵考慮上述作法中能否節省一些步驟。感覺前麵作到45或者32似乎都有必要，但是後麵作以45為(wei) 直徑的圓的時候作中點有點浪費，其實關(guan) 鍵就是找到45的中點I，而HI=22.5,故EI=2.5，我們(men) 可以以C為(wei) 圓心1為(wei) 半徑畫圓與(yu) C1相交，公共弦交AB於(yu) K，則DK=2.5,
以E為(wei) 圓心DK為(wei) 半徑的圓與(yu) AB的右邊的交點即為(wei) I，這樣省去了最後的兩(liang) 個(ge) 圓和一條公共弦，多用了兩(liang) 個(ge) 圓和一條弦，似乎沒有變化！但是這樣以來，可以不要點G，也就是說可以省去C5（也可以先不作H，省去C6），如下圖所示，這樣就能省去一個(ge) 圓了。
別的地方似乎很難再省去步驟了。
仔細思考一下可以發現，上述作法的關(guan) 鍵是作出22.5，不一定要作出45.所以上述作圖方法還可以重新改進，嚐試盡快作出22.5。既然要出現0.5，不妨最開始就作出來，故以A、B為(wei) 圓心作單位圓，則得到3，進而得到6，12，24，而22.5=24-1.5，這樣按下圖作下來用了7個(ge) 圓和三條線，剛好滿足條件！這樣就得到了一種滿足條件的作圖方法，具體(ti) 作法如下：

1、作直線AB，設AB=1，
2、分別以A、B為(wei) 圓心1作單位圓，交AB於(yu) 另兩(liang) 點D,C，兩(liang) 圓公共弦交AB於(yu) O，則CD=3，DO=1.5。
3、以C為(wei) 圓心CD為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) E，則DE=6。
4、以E為(wei) 圓心ED為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) F，則DF=12。
5、以F為(wei) 圓心FD為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) G，則DG=24，OG=22.5。
6、以O為(wei) 圓心OG為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) I，則IG=45。
7、以I為(wei) 圓心BD為(wei) 半徑的圓交大圓於(yu) J，則JG=√2021。
上述作法中共使用了7個(ge) 圓，連了3條直線，故滿足條件。
此為(wei) 解法一。

這樣就找到了一種滿足條件的作圖方法，此解法算是一個(ge) 自然而直接的解法。上述解法中作出以45為(wei) 直徑的圓的想法最容易想到，但是比較費步驟。一個(ge) 改進的辦法是在AB上作XY=2，以X為(wei) 圓心45為(wei) 半徑的圓與(yu) 過Y的AB垂線的交點P，則YP=√2021.
有了這個(ge) 改進後，最開始那個(ge) 用了13個(ge) 直線或圓的作法也能改進.如下圖，具體(ti) 作法為(wei) ：

1作直線AB，設AB=1，
2以A為(wei) 圓心作單位圓，交AB於(yu) 另一點C，則CB=2。
3以C為(wei) 圓心CB為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) D，則DB=4。
4以B為(wei) 圓心BD為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) E，則DE=8。
5以E為(wei) 圓心ED為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) F，則DF=16,AF=13。
6以F為(wei) 圓心FD為(wei) 半徑的圓交AB於(yu) G，則DG=32。
7以D為(wei) 圓心AF為(wei) 半徑的圓與(yu) AB左邊的交點為(wei) H，則HG=45,
8以E為(wei) 圓心HG為(wei) 半徑的圓交4中以B為(wei) 圓心BD為(wei) 半徑的圓於(yu) KL,連接KL交AB於(yu) J，則BJ=2。
9 以B為(wei) 圓心AF為(wei) 半徑的圓交JK於(yu) P，則JP=√2021。
上述作法中共使用了8個(ge) 圓，連了2條直線，故滿足條件。
此為(wei) 解法二。

當然上述作法應該還能再改進。上述兩(liang) 種思路估計是最容易想到的，當然還有一些更巧妙的想法。
例如陳晨老師，他的大概思路是通過最開始的一條線和6個(ge) 圓作出45，再作一個(ge) 半徑2的圓的同心圓(半徑為(wei) 45)，再以大圓與(yu) 直線的一個(ge) 交點為(wei) 圓心4為(wei) 半徑做圓，其與(yu) 大圓交點與(yu) 另一交點的連線與(yu) 半徑2的圓的切點即得√2021的線段。這樣剛好用了8個(ge) 圓和兩(liang) 條線，滿足條件。此為(wei) 解法三。具體(ti) 解法如下：

還有猿輔導的解法，其基本思路為(wei) 作出半徑為(wei) 45的圓，以一個(ge) 交點為(wei) 圓心2和4為(wei) 半徑作圓，相當於(yu) 最後作了兩(liang) 腰為(wei) 45，底邊為(wei) 4的等腰三角形，其頂點與(yu) 底邊中點的距離即為(wei) √2021。此為(wei) 解法四。具體(ti) 作法如下：

當然上述四種解法都可以有一些變形等效作法。應該還有不少其他的思路也能解決(jue) 本題。

下麵還有一個(ge) “爭(zheng) 議性”的問題：以圖中某點為(wei) 圓心，已知線段長度為(wei) 半徑畫圓算不算是一個(ge) 基本步驟？

一般的，在幾何中認為(wei) 算是一個(ge) 基本步驟。即圓規是我們(men) 常用的圓規，可以先量出某一段的長度，然後圓規保持這種狀態，再以某點為(wei) 圓心，此長度為(wei) 半徑畫圓。
有時候為(wei) 了增加難度，可以要求使用“緊規”，即拿起圓規以後，圓規的兩(liang) 腳自動閉合，這樣就隻能以圖中某點為(wei) 圓心，過另一點作圓。雖然不難證明，在這種限製下，前麵的那個(ge) 作法也能完成，但是要增加一些步驟（可以證明，最少需要5個(ge) 基本步驟）。

一個(ge) 自然的問題是：此題用緊規能否在10步內(nei) 完成？
答案是肯定的，而且事實上9步就可以了。其基本思路和解法2類似，大概想法就是將解法2圖形中的線段長度擴大2倍，最後一步圓稍小一點即可直接作出45，從(cong) 而即可完成作圖。我看到單墫單老、愛尖子平台、質心網等都是此種解法。估計參考答案給出的也是此種解法。具體(ti) 圖形和作法如下：

上述9步，每一步是一個(ge) 基本步驟。此為(wei) 解法五。
所以本題簡單易懂，入手點很多，解法估計也是五花八門，近500名考生中估計有幾十種解法。
上述五種解法顯然第五種最簡潔也最優(you) 美。不過如果本題要求使用緊規，最多使用9個(ge) 基本步驟，可能隻有上述第五種解法滿足。那此題的難度將大大提升。估計命題組為(wei) 了降低難度，放鬆了要求，最終題目呈現如上。
據說本題最後的評分標準如下：

學生雖然對尺規作圖不是很熟悉，但是本題容易上手，學生答的還是很好的，據說平均分15分多。所以此題引起了老師和學生的不少爭(zheng) 議。
這樣從(cong) 結果來看，作為(wei) 第二題本題的難度有點低，說明命題組對此題難度的估計不夠準確。平心而論，競賽題的難度本來就非常難以估計，命題組專(zhuan) 家們(men) 的評估可能最終結果大相徑庭也是司空見慣的事情。另一方麵，所謂長江後浪推前浪，一代更比一代強。這個(ge) 結果也反映出競賽學生的數學水平和以前比有了顯著的進步。
不過我覺得瑕不掩瑜，本題是一個(ge) 很好的題目。一方麵命題老師希望通過考察此題引導大家對幾何的基本能力——作圖的重視，確實尺規作圖問題既經典又深刻，初看簡單明了，引人入勝，古希臘人就有了深入的研究，也提出了很多未曾解決(jue) 的問題；然而嚴(yan) 格證明其中的結論卻需要近代的代數、數論、群論等知識，因此她是一個(ge) 數形結合的完美產(chan) 物，可以說尺規作圖能夠綜合考察數學競賽的四塊內(nei) 容：幾何、代數、數論、組合。另一方麵，本題簡單易懂，初一、初二的學生都可以嚐試解決(jue) 本題。而且題目的設計梯度合適，入手點很多，解法也非常多，所以區分度還是不錯的。還有考察尺規作圖算是突然襲擊，幾乎大家都估計不到，也基本上不會(hui) 培訓到。這樣能夠更加真實的反應學生的幾何素養(yang) ，而和賽前及平時的培訓的關(guan) 係就不太大了。

當然這次CMO的題目每題都有梯度，難度整體(ti) 也都不太高，平均分66.6（滿分126分）也是曆年最高的。我覺得這是一個(ge) 好趨勢，因為(wei) 參加CMO的人數越來越多，平均分在50%附近區分度是最高的，能夠真實的反應學生的數學水平的差距。
當然上述解法隻是說明9個(ge) 基本步驟能夠作出√2021。是否還能更少？如果不能，應該如何嚴(yan) 格證明，都是一個(ge) 很有挑戰性的問題。
不少老師感覺此題考察一個(ge) 特例√2021的尺規作圖太簡單，而且無法反應此類問題的研究過程，可以考慮考察一般的作圖√n的尺規作圖的最少步驟問題。
一般性的問題為(wei) ：已知平麵上兩(liang) 個(ge) 點A,B,且AB=1，並尺規做出一條直線上兩(liang) 點，使得此兩(liang) 點的長度為(wei) √n，最少需要幾步？其中連直線和畫圓（以圖中一點為(wei) 圓心畫過另一點的圓）都各是一步。
估計可能因為(wei) 此一般性的問題難度太高，不適合作為(wei) 競賽題考察。例如我們(men) 可以考察幾個(ge) 最初的情況。例如√2的作圖最少需要幾個(ge) 基本步驟，這都是一個(ge) 很有挑戰性的問題，有興(xing) 趣的讀者可以挑戰一下，這裏我先賣個(ge) 關(guan) 子，不公布答案了。常見的作法是6步，其實5步就能作出來。
我得到的√1，√2，√3，√4，√5，√6的最少步驟分別是1,5,3,2,6,6。我在著名的在線整數列網站(OEIS)(https://oeis.org/)上查找了一下，好像沒有找到此數列。可能我算錯了，也可能我的定義(yi) 不太合理，和其他人的定義(yi) 不同，結果也會(hui) 有差異。當然也有可能此類問題還沒有被OEIS網站收入。

其實看到此題，我就想到了一個(ge) 作圖遊戲《歐幾裏得(Euclidea)》，此遊戲點開後背景就是歐幾裏得拿著尺規在思考。這是一款尺規作圖遊戲，而且是使用“緊規”，要求用最少的步驟完成作圖。

很多人也覺得本題是受此遊戲啟發編製的，玩過此遊戲對解決(jue) 本題是很有幫助的。所謂有心栽花花不成，無心插柳柳成蔭。我們(men) 學習(xi) 也不需要過分的功利，有時候適度放鬆，玩玩數學遊戲對數學學習(xi) 也是大有裨益的。

這個(ge) 遊戲的挑戰性相當大，用尺規作出結果不難，但是要用最少的步驟卻殊為(wei) 不易。例如剛才提到的√2的作圖其實本質就是其中第一大關(guan) 的第7小關(guan) 用7個(ge) 基本步驟（7E）作出圓的內(nei) 接正方形。

我一般給競賽的學生講幾何的時候都會(hui) 推薦他們(men) 玩這款遊戲，我也玩了很久這個(ge) 遊戲。當然此遊戲的難度頗高，很難通關(guan) 。對於(yu) 幾何剛入門的學生，推薦另一款比較簡單的遊戲《畢達哥拉斯(Pythagrea)》,圖標如下，這個(ge) 適合初學幾何的學生，甚至小學生也能玩。

我以後有空了準備寫(xie) 個(ge) 《玩遊戲，學幾何》係列，寫(xie) 寫(xie) 這些幾何遊戲的攻略和作法及證明以及互相之間的聯係。