2019年第7屆新加坡天文奧林匹克競賽(SAO)試題

2019年第7屆新加坡天文奧林匹克競賽試題
翻譯：叢(cong) 雨
封麵圖：渦狀星係(M51A/B或NGC 5194/5），圖片來源：美國國家航空航天局/歐洲空間局

譯者翻譯說明：
整場考試持續3.5小時，總分200分，題目具體(ti) 分值使用了[]標注。
英文試題可在網站https://astronomy.sg獲取，暫未找到常數表和答案解析。
題目翻譯由個(ge) 人完成，期間借助了穀歌翻譯以及天文學名詞數據庫網站https://astrodict.china-vo.org，個(ge) 人英文水平有限，部分題目的翻譯質量欠佳。
數據分析題參考文獻：
[1].Light curve data is derived from Tümer (1984) and downloaded from CALEB.
[2].Danjon A. Recherches de Photométrie Astronomique. Annales de l’Observatoire de Stras bourg. 1928;2: 1–185
[3].Evren S, Ertan AY, Tunca Z, Ibanoglu C, Kurutac M, Tümer O. Photoelectric photometry of Z Herculis.
[4].Astrophysics and Space Science. 1982 Oct;87(1-2): 51–9. Popper DM. Orbits of close binaries with CA II H and K in emission. I - Z Herculis and RS Canum Venaticorum. Astronomical Journal. 1988 Apr;95: 1242–50.
[5].Popper DM. Rediscussion of Eclipsing Binaries. I. Z Herculis. Astrophysical Journal. 1956 Jul;124: 196–207.
[6].Tümer O, Ibanoglu C, Tunca Z, Evren S. Light-curve analysis of Z Herculis. Astrophysics and Space Science. 1984 Sep;104(2): 225–44.1.

短問題 [12]
1.1 參宿七
1.2 伽利略衛星
1.3 消色差透鏡
1.4 天鷹
1.5 毅力號
1.6 宇宙標度因子

2.中問題 [54]
2.1 太空填充
2.2 勒阿弗爾的日出
2.3 太空城
2.4 雙子座流星群
2.5 引力測繪
2.6 星際質子
2.7 宇宙年齡

3.長問題 [34]
3.1 Part 1：恒星誕生
3.2 Part 2：恒星中年
3.3 Part 3：恒星死亡

4.數據分析：Seeing Double [40]
5. P(A) [10]
5.1 MCQ
5.2 MCQ
5.3 MCQ
5.4 MCQ
5.5 MCQ

6.P(B) [28]
6.1 辨別星座
6.2 冬季星空
6.3 夏季星空

7.P(C) [22]
7.1 Part 1
7.2 Part 2
7.3 Part 3
短問題部分[12]

1.1 參宿七(Rigel)[2]
一位同學通過她自己收集的數據繪製了參宿七的黑體(ti) 輻射光譜圖，已知參宿七的半徑是79R⊙，以L⊙為(wei) 單位給出其光度。

1.2 伽利略衛星(Galilean Moons)[2]
驗證木衛一、二、三擁有共振軌道，並寫(xie) 出軌道共振率。相關(guan) 數據見下表，木星質量為(wei) 1.898×1027kg。
衛星名稱
質量/kg
半長軸/km
木衛一Io
8.9 × 1022
421700
木衛二Europa
4.8 × 1022
671034
木衛三Ganymede
14.819 × 1022
1070412
木衛四Callisto
10.759 × 1022
1882709

1.3 消色差透鏡(Achromatic Lens)[2]

消色差透鏡通過確保不同波長的光具有相同的焦距來修正色差。一個(ge) 消色差透鏡由平凸透鏡(一側(ce) 平坦一側(ce) 凸出)和平凹透鏡(一側(ce) 平坦一側(ce) 凹陷)組成，且兩(liang) 種玻璃片A和B具有不同的折射率：
A
B
紅光
1.48
1.66
藍光
1.50
1.70
計算這一組合所需的曲率半徑RA和RB，使其相當於(yu) 一個(ge) 焦距600 mm的聚光透鏡。兩(liang) 個(ge) 透鏡的曲率半徑RA和RB與(yu) 折射率nA和nB滿足如下關(guan) 係式

1.4 天鷹(The Flying Eagle)[2]
河鼓二是夜空中一顆明亮且距離較近的恒星，它的視星等是+0.77，周年視差為(wei) 0.195ʺ。計算河鼓二的絕對星等，結果保留小數點後兩(liang) 位。

1.5 毅力號(Perseverance)[2]
機遇號火星車的最大長度為(wei) 2.3 m。距離火星表麵17300 km高的同步軌道上的望遠鏡，想要在可見光波段(λ = 500nm)看到機遇號，它的口徑至少是多少？

1.6 宇宙標度因子(Cosmological Scale Factor)[2]
在此問題中，我們(men) 要確定宇宙由輻射主導向物質主導轉化的時期。下麵給出了幾個(ge) 相關(guan) 參數對宇宙密度參數的貢獻：
• 光子：Ωγ,0=5.35×10−5
• 中微子：Ων,0=3.65×10−5
• 重子：Ωbary,0=0.048
• 暗物質：ΩDM,0=0.262

中問題部分[54]

在7道題中選做6題

2.1 太空填充(Spacefill)[9]

根據世界銀行的數據，全球在2016年一共產(chan) 生了約20億(yi) 噸(1噸= 1000千克)的固體(ti) 垃圾。為(wei) 了解決(jue) 垃圾處理的問題，一名物理係本科生提議以恒定的速度將它們(men) 傾(qing) 倒入一個(ge) 史瓦西黑洞裏，該黑洞同時也因霍金輻射以相同的速度損失其質量。以國際單位製計算該黑洞的：
• 質量     •史瓦西半徑    •溫度
你也許會(hui) 用到黑洞的霍金溫度公式:

以及斯特藩–玻爾茲(zi) 曼常數:

2.2 勒阿弗爾的日出(Sunrise at Le Havre)[9]
《日出·印象》是克勞德·莫奈在勒阿弗爾(49°29ʹ N，0°06ʹ E)繪製的一幅油畫。根據最近對其描繪的風景、潮汐和曆史氣象記錄的分析，這幅畫繪製於(yu) 1872年11月13日的當地平太陽時7:35 am。查找天文年曆得知，這一天太陽的赤經是15h 15m 23.00s，赤緯是−18° 05ʹ 38.20ʺ，時差(真太陽時−平太陽時)為(wei) +15m 33s。我們(men) 將太陽的上端與(yu) 地平線接觸時定義(yi) 為(wei) 日出，請計算：
• 當天此地日出的地方平太陽時，精確到分鍾
• 日出時太陽的方位角，精確到度，方位角的測量方向為(wei) 從(cong) 北點(0°)到西點(90°)
大氣折射會(hui) 使視地平線比真地平線下移34ʹ。你可以忽略地球進動的影響。

2.3 太空城(Space City)[9]
在一座太空城裏有兩(liang) 個(ge) 金屬鋨製作的球，m1=1kg，m2=1.5kg，它們(men) 在引力的作用下以r=0.10m的距離互相繞轉。計算它們(men) 的軌道周期。
證明一個(ge) 半徑r、質量m的球體(ti) 衛星的洛希極限為(wei) ：

rT為(wei) 衛星中心到地球(質量ME)中心的距離。提示：在必要時應采用近似值。假設這個(ge) 太空城是質量1.0×1010kg、半徑1km的球體(ti) ，據此計算它繞地球的最小軌道高度。

2.4 雙子座流星群(Geminids)[9]
3200法厄同是一顆以赫利俄斯之子命名的小行星，直徑僅(jin) 有5.80 km，軌道半長軸1.271 AU，偏心率0.8899，比其他的小行星距離太陽更近。有趣的是，它也是一片流星群的母天體(ti) ，這些流星體(ti) 與(yu) 法厄同有基本相同的軌道，每年的12月14日左右都會(hui) 給我們(men) 帶來雙子座流星雨的奇觀。
假設3200法厄同的軌道在黃道麵內(nei) ，且忽略地球引力對流星群的影響。
a).計算雙子座流星相對於(yu) 地球表麵觀測者的速度大小。
b).找到雙子座流星雨輻射點(從(cong) 地麵上看，流星雨看似是從(cong) 該點發出的)的赤經坐標，精確到5分。

2.5 引力測繪(Gravitational Mapping)[9]
假設有兩(liang) 顆衛星Tom和Jerry以相同的軌道繞一顆中子星運動，在中子星的中心觀測，Jerry的位置在Tom的前方67.210°。兩(liang) 顆衛星的任務是繪製中子星的引力場分布，和地球軌道上的GRACE（重力測量和氣候實驗）衛星一樣，Tom會(hui) 向Jerry發射1575.25 MHz的微波脈衝(chong) 信號。它們(men) 的軌道參數如下：
半長軸
1.7880×104m
偏心率
0
中子星的質量
2.7839×1030kg
你可以忽略廣義(yi) 相對論造成的光線彎曲，但要考慮其他的相對論效應。計算Jerry接收到的信號的頻率，保留6位有效數字。

2.6 星際質子(Interstellar Proton)[9]
假設星際空間中有一個(ge) 總能量為(wei) 1TeV的質子朝向地球飛來。若:

其中v是質子的速度，估算δ的值。
如果質子飛行到人造衛星附近並穿過一片均勻的穩恒磁場，根據質子受到的作用力F(其中)和總能量E，給出質子軌道的曲率半徑。

2.7 宇宙年齡(Age of the Universe)[9]
此題你將會(hui) 用到微分運算，因此下麵給出了一個(ge) 多項式函數的微分計算結果:

其中n是實數，x是變量。
在一次知識競賽中，Tommy要挑戰估算宇宙的年齡，他被要求不能從(cong) 維基百科上查找數據，你需要協助他完成計算。已知弗裏德曼方程：

其中，ρ是宇宙密度，a是歸一化的宇宙尺度因子，k是宇宙曲率，H是哈勃常數。

哈勃常數最新的測量結果是67.8 km s–1 Mpc–1。
此外，熱力學第一定律如下：

ΔE是內(nei) 能的變化量，p是壓強，ΔV是體(ti) 積的變化量，T是溫度，ΔS是熵的變化量。假設可逆膨脹過程的ΔS = 0，即熵不變，由熱力學第一定律導出宇宙的流體(ti) 方程：

進而寫(xie) 出加速度方程：

某些情況下，可以得到尺度因子a關(guan) 於(yu) 時間的函數解：

當t = t0時a的值為(wei) 1。說明獲得此解的必要條件。假設上述條件均成立，估計宇宙的年齡。