2017年英國天文學與天體物理學奧林匹克競賽試題(上)

2017年英國天文學與(yu) 天體(ti) 物理學奧林匹克試題競賽(上)

翻譯：Alex

封麵圖：貓眼星雲(yun) (NGC6543)

Credit: NASA.

試題1.火星GPS。

在地球上，全球衛星定位係統在任何時間都需要至少24顆衛星(通常有更多衛星來備用，現在所有的衛星數量超過30顆)，所以在地球上的任何地方，地平線以上都有至少4顆衛星可見(需要x, y, z和時間協調)。這是通過6個(ge) 分離60°不同的軌道麵，每個(ge) 軌道麵上有4顆衛星來實現的

軌道基本上是圓形，偏心率小於(yu) 0.02，傾(qing) 角為(wei) 55°，軌道周期正好為(wei) 半個(ge) 恒星日(稱為(wei) 半同步軌道)。每個(ge) 衛星天線的接收角度需要是27.8°，因此地球表麵積的38%在satellite’s Footprint內(nei) (如figure1所示)，可以出色地覆蓋所需範圍。

a.已知地球的恒星日是是23小時56分鍾，計算GPS衛星的軌道周期。用R⊕單位來表達你的答案。

b.無線電信號要在衛星和軌道平麵上最近的衛星之間直接傳(chuan) 播需要多長時間(假設它們(men) 是等間距的)? 一輛汽車在高速公路上(以30米每秒的速度)在那段時間內(nei) 能行駛多遠?

【這個(ge) 可以非常粗略地估計對於(yu) 那輛車的係統定位精度】

在未來，我們(men) 希望殖民火星，因此,出於(yu) 導航的目的，一種GPS係統很可能最終也會(hui) 在火星上建立起來。火星的質量為(wei) 6.42×10²³千克，平均半徑為(wei) 3390公裏，恒星日為(wei) 24h 37分鍾，還有兩(liang) 個(ge) (低質量)衛星，其軌道基本為(wei) 圓形，半長軸為(wei) 9377公裏(火衛一)和23460公裏(火衛二)。
c.通過適當的計算，探索一個(ge) 在火星建立24顆半同步衛星GPS網絡的可行性，該網絡類似於(yu) 地球上的半同步軌道，考慮以下因素:

(i).火星衛星是否會(hui) 阻止這種軌道?

(ii).GPS的定位精度相比地球會(hui) 怎麽(me) 樣?

(iii).每個(ge) 衛星天線的接收角度需要是多少，以及相關(guan) 的衛星足跡是多少?通過將這些數據與(yu) 地球GPS所使用的數據進行比較，對未來火星GPS的可行性做出最後的評價(jia) 。

試題2.霍曼轉移軌道。

為(wei) 了使航天器在軌道之間移動，我們(men) 必須使用火箭施加推力，使航天器的速度變化∆v。在這個(ge) 問題中，我們(men) 將忽略由於(yu) 燃料燃燒而引起的航天器質量的變化。

質量為(wei) m的物體(ti) 圍繞質量為(wei) M的物體(ti) 沿半徑為(wei) r的圓形軌道運行(其中m<< M)，其軌道速度Vorb由公式給出

a.證明在低軌道的Vorb(低軌道(LEO)；距離地麵大約200KM)的值大約在8km/s。這是火箭需要提供給航天器到達LEO的∆v的估計
在行星之間旅行時最經濟的路線被稱為(wei) 霍曼轉移軌道。

這是一個(ge) 近日點與(yu) 內(nei) 行星軌道(半徑為(wei) rA)重合，遠日點與(yu) 外行星軌道(半徑為(wei) rB)重合的橢圓。這是通過在點A處增加速度(∆vA，再在點B處增加速度(∆vB)來實現的。

對於(yu) 半長軸為(wei) a的橢圓，可以表明，在質量為(wei) M距離為(wei) r時，速度v可表示為(wei) :

b.通過比較∆vA和∆vB的圓周軌道速度和轉移軌道速度,得出∆vA和∆vB的表達式。簡化你的最終表達式，隻包含G,M⨀,rA與(yu) rB。

c.將火星軌道近似為(wei) 圓形，半徑為(wei) 1.52AU，計算出從(cong) 地球低軌道到火星的∆v，即∆v=|∆vA|+|∆vB|。將你的答案與(yu) 到達地球低軌道的∆v進行比較。

d.推導出轉移軌道所花費的總時間tH的表達式，並計算出一次地球到火星轉移所花費的總時間。使用“月”來表達你的答案。(這裏1月=30天)

e.使用你上麵得出的答案，計算當航天器到達火星時，地球與(yu) 火星的垂直距離。無線電消息從(cong) 航天器發送到達地球需要多久?

f.飛船上的宇航員需要等多久才能使用霍曼轉移軌道返回地球? 請計算此次任務的持續時間。

試題3. 弑星者基地。

作為(wei) 統治銀河係計劃的一部分，第一秩序建造了弑星者基地。它建在一顆冰天雪地的行星上，擁有可以摧毀整個(ge) 恒星係統的超級武器，使用恒星的能量來充能。弑星者基地已經進入太陽係，並試圖利用太陽為(wei) 其武器提供能量來摧毀地球。

對於(yu) 這道題，你需要用到一個(ge) 均勻密度，質量為(wei) M，半徑為(wei) R的球形物體(ti) 的重力結合能U，U的表達式為(wei)

並且低質主星序的質光關(guan) 係為(wei) L ∝M⁴

a.假設太陽最初是由純氫構成的，以恒定的速率進行核聚變，並將繼續這樣做，直到其核心的氫用完。如果核心的質量是恒星質量的10%，並且在每次聚變反應中有0.7%的質量轉化為(wei) 能量，證明太陽的壽命在主序上大約是100億(yi) 年。

b.弑星者基地可以停止太陽核心的核聚變

(i).以目前的亮度，太陽需要多長時間才能輻射出它所有的引力結合能?(這是對超級武器輻射充能時耗盡一整顆恒星所需時間的估計)

(ii).你計算出的數值和在問題a中計算得到太陽的主序相比如何?

(iii).評論一下在太陽生命中是否有(或將會(hui) )這樣一個(ge) 量級的時間尺度的事件。

c.實際上，地球的引力結合能比太陽的引力結合能低得多，因此第一秩序不需要耗盡整個(ge) 恒星來獲得足夠的能量來摧毀地球。假設這種超級武器能夠將太陽整個(ge) 表麵輻射的所有能量都傳(chuan) 導給它，那麽(me) 要給超級武器充上足夠的能量來完成這個(ge) 任務需要多長時間呢?

第一秩序發現用輻射給武器充能太慢,不能滿足他們(men) 的統治銀河的計劃,所以將部分恒星儲(chu) 存在弑星者基地內(nei) 部代替了充能武器(如Figure3所示)。為(wei) 了避免生成一個(ge) 黑洞，第一秩序不能將恒星物質壓縮到低於(yu) 其史瓦西半徑RS=2GM/c2

d.以弑星者基地這種冰冷的星球為(wei) 例，它的直徑為(wei) 660KM，證明即便太陽被完全抽幹，依舊可以被安全存放。

e.弑星者基地想要摧毀銀河係遠端的一個(ge) 恒星係統中的所有行星，以便從(cong) 離太陽0.10M⨀的地方為(wei) 其武器充能。假設在這個(ge) 過程中，太陽單位體(ti) 積的U近似保持不變，計算:

(i).太陽的新亮度

(ii).太陽的新半徑

(iii).太陽表麵的新溫度(目前T⨀=5780K)，並分析(通過適當的計算)在它的顏色方麵將會(hui) 發生什麽(me) 變化。

起義(yi) 軍(jun) 擊敗了第一秩序並摧毀了幾乎充滿能量的弑星者基地。在釋放基地中儲(chu) 存的能量導致該基地所在的行星變成一顆小恒星。

f.假設目前的破壞弑星者基地形成的新恒星的質量等於(yu) 抽掉的太陽的質量(0.10M⨀)。推導出一個(ge) 這個(ge) 新恒星的主序壽命表達式(表達式裏包含恒星質量),並計算該恒星的主序壽命。