AMC 10 幾何板塊公式、定理、方法匯總

正在備考 AMC 的你，會(hui) 不會(hui) 感覺它考的內(nei) 容特別多？好像這個(ge) 也沒學過，那個(ge) 也沒學過。

可是當我們(men) 針對每一題去分析的時候，發現其實大部分知識點你都學過。隻不過是中學所學的某些章節的定向延伸。

對於(yu) 第一次參加 AMC 的你來說，最為(wei) 困惑的是備考階段我們(men) 到底需要準備什麽(me) ，有哪些部分是需要額外學習(xi) 的。其實除了掌握一些特定的公式定理，也需要大家平日多思考多積累，很多的方法的基礎都是我們(men) 課堂所學的知識。

從(cong) 這周開始我來總結一下 AMC10 涉及到的定理、公式、方法。

與(yu) 其他數學競賽相類似，備戰 AMC 也需要一定程度的超前學習(xi) 。對於(yu) 準備 AMC 10 的同學，尤其是國際學校的學生，個(ge) 人建議至少完成 11年級之前的課內(nei) 數學學習(xi) 。

在這一階段的課內(nei) 學習(xi) 中，幾何部分主要包括了相似三角形 (similar triangle), 全等三角形 (congruent triangle), 勾股定理 (Pythagorean theorem), 正弦 (the law of sines)、餘(yu) 弦定理(the law of cosines), 圓 (circle) 等主要知識點。

今天我們(men) 先來學習(xi) 以下五個(ge) 定理：

1、平行線分線段成比例定理

2、射影定理 (Euclid's theorem)

3、角平分線定理 （Angle bisector theorem）

4、利用正弦求三角形麵積

5、斯圖爾特定理（Stewarts theorem）

1、平行線分線段成比例定理

這一定理不僅(jin) 僅(jin) 適用於(yu) 相似三角形，其核心思想是找到兩(liang) 到三組平行線，利用平行線分割的線段找出比例關(guan) 係。

例如下麵這道題，你可以根據平行線找出比例關(guan) 係麽(me) ？

AMC10B 2016 Q19 （答案見最後）

2、射影定理 (Euclid's theorem)

這一定理的結論可以通過中學學習(xi) 的相似三角形的知識證明。是和直角三角形相關(guan) 的題目的重要解題線索，使用時，隻需要找出一個(ge) 直角三角形和其斜邊的高，就可以對未知邊長進行求解。

下麵這道題中，如果想應用射影定理，你找出需要的直角三角形了嗎？

AMC10B 2004 Q22 （答案見最後）

3、角平分線定理 （Angle bisector theorem）

這一古老的幾何定理早在公元前 300 年就出現在了幾何原本的第六卷中。是一個(ge) 在 AMC10 的幾何難題中頗為(wei) 實用的定理。看到了角平分線的信息，就可以找出線段之間的比例關(guan) 係。

掌握了這樣一個(ge) 定理，即便是 AMC10 的壓軸題也不在話下。

AMC10A 2018 Q24 （答案見最後）

4、利用正弦求三角形麵積 

這一結論也是針對中學三角知識的延伸，不僅(jin) 僅(jin) 可以求三角形的麵積，還可以在已知兩(liang) 個(ge) 三角形其中一個(ge) 內(nei) 角相等的前提下，找出對應邊長的比例關(guan) 係。

了解這一公式，是不是對上麵的第三題又有了新的思路呢？不僅(jin) 如此，在其他的 AMC 考題中我們(men) 也可以找到它的應用。

AMC10B 2017 Q19 （答案見最後）

5、斯圖爾特定理（Stewarts theorem）

這個(ge) 定理不太好記，當 D 點為(wei) 中點時還可以簡化為(wei) 中線定理。作為(wei) 比較不常用的定理，適合針對最後五題複習(xi) 的同學。

試著用這個(ge) 定理一起挑戰一下這道 13 年的幾何壓軸題吧！

詳細過程及答案

方法一：

方法二：