數論是數學的重要組成部分，也是 AMC 考試中的核心部分之一。雖然 “數論” 這個(ge) 詞聽上去高深莫測，其實我們(men) 從(cong) 中學甚至小學就已經開始接觸數論的知識了。例如，質數的概念，求解最大公約數，最小公倍數等。
AMC 10 中關(guan) 於(yu) 數論的題目不僅(jin) 涵蓋了了中學課內(nei) 所學的知識，還有很多需要記憶的公式定理。
同時 AMC 10 涉及到數論的題，往往是難題中的壓軸題。數論類型的題經常出現在考試中的最後兩(liang) 題。那麽(me) 今天我們(men) 就來總結下 AMC 10 中涉及的數論部分的公式定理。
1.孫子定理（Chinese Remainder Theorem）
2.費馬小定理（Fermat's Little Theorem）
3.威爾遜定理 （Wilson's Theorem）
4.歐幾裏德算法 （Euclidean Algorithm）
5.立方和公式（Nicomachus's Theorem）
1、孫子定理（Chinese Remainder Theorem）
這是一個(ge) 為(wei) 數不多的在西方數學發展史中用東(dong) 方名字去命名的定理。孫子定理解決(jue) 的是一次線性同餘(yu) 方程問題。
最早記載於(yu) 《孫子算經》中，原文如下：“有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”
簡單地說就是根據不同除數得到的餘(yu) 數，求解滿足條件數字的問題。關(guan) 於(yu) 此定理的具體(ti) 敘述如下
此定理經常用於(yu) AMC 10 和餘(yu) 數相關(guan) 的題目。
AMC10B 2017 Q23 （答案見最後）
2、費馬小定理（Fermat's Little Theorem）
費馬小定理是一個(ge) 在數論問題中頻繁被使用的定理。尤其是對於(yu) 備考 AMC 10 的同學來說，此定理可以求解大部分和指數表達式相關(guan) 的餘(yu) 數問題。
定理的敘述如下,
同時也伴隨這一個(ge) 推論
下麵我們(men) 來看一下如何在例題中使用費馬小定理。
AMC10B 2017 Q14 （答案見最後）
3威爾遜定理 （Wilson's Theorem）
這也是在 AMC 10 的考試中出現過的一個(ge) 和求餘(yu) 數相關(guan) 的定理。也可以用來判斷一個(ge) 自然數是否是質數。
AMC10A 2019 Q25 （答案見最後）
4、歐幾裏德算法 （Euclidean Algorithm）
歐幾裏德算法又叫做輾轉相除法，是用來計算兩(liang) 個(ge) 整數之間最大公約數的方法。
其核心思想是，兩(liang) 數相除得到的餘(yu) 數與(yu) 其中任意一個(ge) 數的最大公約數等於(yu) 原本兩(liang) 個(ge) 數的最大公約數。該算法的逆過程經常被用來推算一些數的最大公約數。
整個(ge) 算法流程具體(ti) 如下：
AMC10A 2020 Q24 （答案見最後）
5、立方和公式（Nicomachus's Theorem）
這個(ge) 定理是可以被可視化證明的。從(cong) 1 開始的連續正整數的立方和等於(yu) 對應幾個(ge) 正整數和的平方。
雖然可以使用的機會(hui) 很少，在特定題目中使用該定理，還是會(hui) 大大簡化求解過程。
AMC10B 2018 Q16 （答案見最後）
答案與(yu) 解析
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