過完新年，AMC 考試的日子正在一天天臨(lin) 近。不知道同學們(men) 準備的怎麽(me) 樣了，還有哪些“疑難雜症”和“硬骨頭”問題有待解決(jue) 呢。
今天我們(men) 來總結下 AMC 12 數論部分的知識點，希望能給大家的複習(xi) 備考增加一些解題的製勝法寶。
一提到數論，很多同學會(hui) 想到的是那些以數學家名字命名的定理。其中大部分我們(men) 在 AMC 10 的數論知識點總結中已經介紹過了。
整體(ti) 而言 AMC 12 數論部分知識的要求和 AMC 10 有很大重疊。和每個(ge) 抽象複雜的定理相比，更重要的是掌握每個(ge) 定理在什麽(me) 樣的情況下被使用。
與(yu) 機械地記憶相比，這個(ge) 過程更像是建立一個(ge) 長久的條件反射。下麵我們(men) 來結合曆年的例題匯總下 AMC 12 數論部分需要掌握的知識點。
1. 質因式分解 （Prime Factorization）
2. 貝祖定理 （Bezout's Lemma）
3. SFFT (Simon's Favorite Factoring Trick)
4. 歐拉函數的應用（Euler's Totient Theorem）
1、質因數分解 （Prime Factorization）
對於(yu) 質因數分解，大家都不會(hui) 陌生。在 AMC 12 中，利用質因數分解求解的題目也非常多。
在這一技巧的基礎上，還經常結合計數去考察特定因數的個(ge) 數。這裏我們(men) 根據質因數分解的通式，給出奇因數和偶因數個(ge) 數的表達式。
結合給出的公式，我們(men) 來看一下下麵這道例題。
AMC12B 2017 Q16 （答案見最後）
下麵我們(men) 要介紹的兩(liang) 個(ge) 定理都和丟(diu) 番圖方程（Diophantine Equation）相關(guan) 。
什麽(me) 是丟(diu) 番圖方程呢？簡單地說，就是一個(ge) 變量或者多個(ge) 變量的等式隻包含整數係數，同時對變量的求解也隻在整數範圍內(nei) 。AMC 12 中很多求整數解的數論問題都可以找出對應的丟(diu) 番圖方程。
2、貝祖定理 （Bezout's Lemma）
貝祖定理，也叫裴蜀定理。貝祖定理告訴我們(men) 兩(liang) 個(ge) 正整數的線性疊加可以組成的最小正整數就是這兩(liang) 個(ge) 數字的最大公因數。
以往 AMC 12 的考試中並未直接考察該定理。但是在很多題目中，利用貝祖定理的結論，還是可以排除很多選項。例如下麵這道例題，
AMC12A 2006 Q14 （答案見最後）
3、SFFT (Simon's Favorite Factoring Trick)
這是一個(ge) 在 AMC 中常用的針對兩(liang) 個(ge) 變量的因式分解技巧。適用於(yu) ‘xy+Ax+By‘ 這樣的形式。相似的，作為(wei) 丟(diu) 番圖方程的一種，該技巧也是主要針對方程隻有整數解的情況。
例如下麵這道題，能不能找出對應的方程並按 SFFT 進行因式分解呢？
AMC12B 2008 Q16 （答案見最後）
4、歐拉定理（Euler's Totient Theorem）
在數學的多個(ge) 領域都可以見到用歐拉命名的定理。數論中的歐拉定理也是用來解決(jue) 同餘(yu) 問題的。
弄清楚歐拉定理，需要先掌握歐拉函數的定義(yi) 。歐拉函數給出了計算小於(yu) 或等於(yu) 任意一個(ge) 正整數 n 中和 n 互質數字個(ge) 數的表達式。
在此基礎上，歐拉定理給出了關(guan) 於(yu) 歐拉函數的一個(ge) 同於(yu) 性質。同時歐拉定理也可以看作是費馬小定理的一般化形式。
最後，放上這道早年 AMC 12 的最終壓軸題。一起來看看歐拉定理的妙用。
AMC12B 2006 25 （答案見最後）
答案以及詳細解析
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