數數，是我們(men) 最開始接觸數字就一直在做的練習(xi) 。關(guan) 於(yu) 數數的問題同樣也出現在 AMC 中。
計數問題在 AMC 的考試中主要分為(wei) 組合數學 (Combinatorics) 和概率 (Probability)。
簡單的排列組合的計算公式相信同學們(men) 都不陌生，然而競賽中的組合問題不僅(jin) 需要基本的公式，還需要合理的分類討論以及計數思想。
計數類問題還可以衍生出不同類別的概率問題，其中的核心部分也是計算代表分子、分母的情況個(ge) 數。
如何有效地 “數”， 如何 “數” 對，今天我們(men) 來介紹下在 AMC10 中計數部分，有哪些重要的計數思想和公式需要我們(men) 掌握。
1.互補計數（Complementary Counting）
2.容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）
3.可分辨性與(yu) “隔板法” （Distinguishability）
4.鴿巢原理 （Pigeonhole Principle）
1、互補計數（Complementary Counting）
互補計數，顧名思義(yi) 就是計算所求集合中補集的元素個(ge) 數。典型的例子是找出 “至少有 n 個(ge) ” 的互補情況，也就是 “至多有 n-1”。
結合題目中出現的 "至多"、“至少” 這樣的關(guan) 鍵詞，利用互補的思想，可以使一些計數和概率計算變得更簡潔有效。
例如下麵這樣一道例題：
2、容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）
容斥原理是另一個(ge) 計數問題中常見的集合原理。通常使用容斥原理可以計算兩(liang) 個(ge) 或者多個(ge) 不同的類別重疊部分元素的個(ge) 數。它的集合表達式如下，一般來說隻需要掌握兩(liang) 集合，三集合對應的結論就可以了。
下麵這道例題，同學們(men) 可以試試使用給出的集合公式找出答案。
AMC10B 2017 Q13 （答案見最後）
3、可分辨性 （Distinguishability）
這個(ge) 術語看著有些陌生，其實我們(men) 在學習(xi) 初級的排列組合時就已經涉及了可分辨性的這一特征。
排列 (permuation) 和組合 (combination) 的區別就在於(yu) 前者每個(ge) 元素是不同的，放入的分組順序也是可辨的 (distinguishable)，後者雖然每個(ge) 元素不同，但是選出的分組是不可辨的(indistinguishable)。
可辨性最好的應用就是“隔板法”，關(guan) 於(yu) 隔板法的問題可以描述為(wei) 將 n 個(ge) 元素分為(wei) k 組 或者 k 個(ge) 非負變量之和等於(yu) 整數 n。
實際上解決(jue) 這樣的問題隻需要先保證每組至少分得 1 個(ge) ，再添加 k-1 個(ge) 隔板就可以了。所以對應的公式就是
首先我們(men) 來看一道，與(yu) “隔板法” 相關(guan) 的概率問題。
AMC10A 2018 Q11 （答案見最後）
“隔板法” 還能用在一些代數問題上，不知道下麵這道題有沒有給你一些使用 “隔板法”的啟發。
AMC10A 2016 Q20 （答案見最後）
4、鴿巢原理 （Pigeonhole Principle）
鴿巢原理也叫抽屜原理，簡單的解釋為(wei) n+1 個(ge) 元素分成 n 組，至少有一組包含兩(liang) 個(ge) 元素。
又或者為(wei) 什麽(me) 一個(ge) 學校裏，一定有兩(liang) 個(ge) 同學的生日是同一天呢？因為(wei) 生日隻有366種，而學校的人數一定大於(yu) 366， 所以一定有人的生日相同。
簡單易懂的原理，應用時也可以解決(jue) 大問題。
AMC10A 2006 Q20 （答案見最後）
答案與(yu) 解析
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