Question 25
For n a positive integer, let R(n) be the sum of remainders when n is divided by 2,3,4,5,6,7,8,9,and10. For example, R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26. How many two-digit positive integers n satisfy R(n)=R(n+1)?
首先我們(men) 考慮正整數n除以m的餘(yu) 數以及n+1除以m的餘(yu) 數，容易想到，後者要麽(me) 比前者大1，要麽(me) 比前者小m-1（此時n+1為(wei) m的倍數）。
“情況1：
如果n是偶數，則n+1是奇數，那麽(me) 對於(yu) 所有偶數m來說，因為(wei) n+1不可能是m的倍數，所以n+1除以m的餘(yu) 數必然會(hui) 比n除以m的餘(yu) 數大1，見下表：
為(wei) 了使R(n)=R(n+1)，隻能取8個(ge) 1和一個(ge) -8，但此時n+1是9的倍數，那也就是3的倍數，所以3為(wei) 除數會(hui) 產(chan) 生-2而不是1，矛盾。這就說明，n不可能是偶數。
“情況2：
如果n是奇數，則n+1是偶數，所以2為(wei) 除數會(hui) 產(chan) 生-1。我們(men) 繼續討論，如果n+1是6的倍數，那麽(me) 它也是3的倍數，這樣會(hui) 產(chan) 生-2和-5，而另外幾個(ge) 數加起來最多是+6，這是配不平的；同理n+1也不能是8,9,10的倍數。這樣，不確定的就隻有除數為(wei) 4和7的時候，見下表：
為(wei) 了使R(n)=R(n+1)，隻能取一個(ge) -1，一個(ge) -6和7個(ge) 1，此時n+1是2和7的倍數，也就是14的倍數，但不能是3,4,5,6,8,9,10的倍數。所以在100以內(nei) 滿足這些條件的n+1隻有14和98，也就是n=13或97。答案選C。
總體(ti) 來說，這次的25題沒有往年那麽(me) 難以想到或者計算量驚人，隻要有一定的數論基礎，加上細心和耐心就可以做出來。
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