費馬大定理之代數數論簡介 (2)

往期內(nei) 容：

費馬大定理之代數數論簡介 (1)

本係列為(wei) 大家帶來基礎代數數論的整理，最終會(hui) 設計費馬大定理一部分情形的證明，敬請期待

該係列的主要內(nei) 容用英文編寫(xie) ，每篇文章會(hui) 有中文的簡介，幫助讀者梳理思路，更好地完成閱讀。所需要的知識主要為(wei) Galois理論和基礎的交換代數，一些結論在第0節中分類整理，因此請讀者先瀏覽第0節，如果有嚴(yan) 重的知識漏洞可以考慮係統地學習(xi) 。

如果讀者想要係統地學習(xi) 相關(guan) 理論，可以參考一下書(shu) 籍：

• Introduction to Commutative Algebra by M. F. Atiyah & I. G. MacDonald (1994)

• Algebra with Galois Theory by Emil Artin (2007)

• 基礎拓撲學講義(yi) by 尤承業(ye) (1997)

• Algebraic Number Theory by J.S. Milne (1998)

• Introduction to Cyclotomic Fields by Lawrence C. Washington (1997)

• Fermat's Last Theorem for Regular Primes by Keith Conrad

前兩(liang) 本為(wei) 基礎知識以供參考，這裏寫(xie) 第三本主要是提供一個(ge) 了解點集拓撲概念的渠道，實際上本係列中僅(jin) 應用了歐式空間的拓撲，因此掌握一些分析知識就足夠了。如果想要係統學習(xi) 第一本可以學習(xi) 第三本的點集拓撲部分。

第四本為(wei) 本係列主要參考書(shu) 籍，第五、六本為(wei) 費馬大定理的部分情況證明相關(guan) 的知識。第六本為(wei) 一篇論文，其中引用了第五本第五章的一個(ge) 結論為(wei) 引理，而該結論需要解析數論作為(wei) 基礎，因此本係列最終會(hui) 直接使用該引理而不加證明。

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以下為(wei) pdf文件，第二份為(wei) 精簡後的手冊(ce) 版本，便於(yu) 查找引用。

a brief introduction to algebraic number theory_3-21.pdf

a brief introduction to algebraic number theory (maflet ver.)_3-11.pdf

本期包含兩(liang) 個(ge) 小節："Finding the ring of integers", "Dedekind domains"，即“求解代數整數環”、“戴德金環”。

第3節“求解代數整數環”主要介紹了求解的方法，具體(ti) 來說先證明了代數整數環一定是  的自由模，因此隻需要求出生成基即可。一種簡單的情形為(wei) 找到了一組域擴張的基，並且說明了這組基的判別式不含平方因子，那麽(me) 由於(yu) 代數整數環判別式為(wei) 該基除以一個(ge) 整數的平方，因此兩(liang) 者一定相等，故該組基生成了代數整數環。

對於(yu) 一般的情況，我們(men) 給出了代數整數環的上、下界，這兩(liang) 界之間的次數是有限的，因此可以通過計算枚舉(ju) 的方式求解代數整數環。對於(yu) 數學證明，該命題也可以排除很多情況。最後，我們(men) 求解了素數的冪次的分圓域的代數整數環。

第4節“戴德金環”。由於(yu) 代數整數環通常不是唯一分解整環，因此引入戴德金環作為(wei) 代數整數環的重要特征。戴德金環的定義(yi) 為(wei) 諾特+整閉+素理想極大，一個(ge) 等價(jia) 的定義(yi) 為(wei) 所有非零理想可以唯一分解為(wei) 素理想之積。

而我們(men) 可以證明戴德金環在擴域中的整數閉包也是戴德金環，因此代數整數環均為(wei) 戴德金環。