費馬大定理之代數數論簡介 (1)

本係列為(wei) 大家帶來基礎代數數論的整理，最終會(hui) 設計費馬大定理一部分情形的證明，敬請期待

該係列的主要內(nei) 容用英文編寫(xie) ，每篇文章會(hui) 有中文的簡介，幫助讀者梳理思路，更好地完成閱讀。所需要的知識主要為(wei) Galois理論和基礎的交換代數，一些結論在第0節中分類整理，因此請讀者先瀏覽第0節，如果有嚴(yan) 重的知識漏洞可以考慮係統地學習(xi) 。

如果讀者想要係統地學習(xi) 相關(guan) 理論，可以參考一下書(shu) 籍：

• Introduction to Commutative Algebra by M. F. Atiyah & I. G. MacDonald (1994)
• Algebra with Galois Theory by Emil Artin (2007)
• 基礎拓撲學講義 by 尤承業 (1997)
• Algebraic Number Theory by J.S. Milne (1998)
• Introduction to Cyclotomic Fields by Lawrence C. Washington (1997)
• Fermat's Last Theorem for Regular Primes by Keith Conrad

前兩(liang) 本為(wei) 基礎知識以供參考，這裏寫(xie) 第三本主要是提供一個(ge) 了解點集拓撲概念的渠道，實際上本係列中僅(jin) 應用了歐式空間的拓撲，因此掌握一些分析知識就足夠了。如果想要係統學習(xi) 第一本可以學習(xi) 第三本的點集拓撲部分。

第四本為(wei) 本係列主要參考書(shu) 籍，第五、六本為(wei) 費馬大定理的部分情況證明相關(guan) 的知識。第六本為(wei) 一篇論文，其中引用了第五本第五章的一個(ge) 結論為(wei) 引理，而該結論需要解析數論作為(wei) 基礎，因此本係列最終會(hui) 直接使用該引理而不加證明。

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本期文章包含三個(ge) 小節："Review of basic knowledge", "Ring of Integers","Discriminant"，即“基礎知識回顧”、“代數整數環”、“判別式”。

第0節“基礎知識回顧”請讀者自行閱覽。

第1節“代數整數環”介紹了整的基本性質，環  在環  上整，如果  的元素均為(wei)   上的代數整數。一個(ge) 重要的結論是整的傳(chuan) 遞性，即若  在  上整、  在  上整，那麽(me)   在  上整。一個(ge) 環稱為(wei) 整閉的，如果其在分式域的整數閉包就是自身。可以證明  在  中的整數閉包是整閉的。

第2節“判別式”從(cong) 線性代數出發定義(yi) 了環擴張  中元素的跡和範數，進而定義(yi) 了自由模環擴張的判別式。為(wei) 了計算該判別式，引入了不可約多項式的判別式。最後，列舉(ju) 了兩(liang) 類不可約多項式的判別式的計算。判別式的作用會(hui) 在下一節中提到，敬請期待。