夏校申請季如何選擇適合自己的夏校呢？

每年的1-4月都是各大國際數學暑期學校的申請季。如此多高含金量，並且充滿趣味性、專(zhuan) 業(ye) 性、研究性質的數學暑期活動，相信喜歡數學思維的同學都會(hui) 嚐試去挑戰下不同夏校的測試題。

限於(yu) 文章篇幅，這裏就不詳細介紹每個(ge) 夏校的曆史了，大家可以自行去官網了解相關(guan) 信息：
PROMYS (波士頓青年數學家計劃)
https://promys.org/
SUMaC (斯坦福大學數學營)
https://sumac.spcs.stanford.edu/
ROSS  (羅斯數學夏令營)
https://rossprogram.org/
PRIMES (MIT數學、工程和科學研究項目)
https://math.mit.edu/research/highschool/primes/apply.php（嚴(yan) 格意義(yi) 講這不算暑期活動，但是活動性質類似）
MathILy
https://mathily.org/
Awesome Math
https://www.awesomemath.org/
Canada/USA Mathcamp
https://www.mathcamp.org/

申請時，一個(ge) 非常重要的問題是，時間精力有限的條件下，如何選擇適合自己的夏校呢？
本文中，我主要想從(cong) “試題特點”和“夏校風格”兩(liang) 個(ge) 角度來談談，如何怎麽(me) 選擇適合自己的夏校~~
文章比較長，可以分為(wei) 4個(ge) 部分
Part 1： 夏校簡介
Part 2： 遊戲環節
Part 3： 試題特點與(yu) 夏校風格
Part 4： 總結

Part 1： 夏校簡介
考慮到可能有讀者是第一次接觸“夏校”這一概念，所以我先做4個(ge) 簡單的科普

科普一：什麽(me) 是夏校？
夏校就是暑期學校（summer school），多數是每年暑假6月下旬至8月底，由高知名度、學術實力強的學校為(wei) 國內(nei) 外學生開設的一種圍繞某個(ge) 學科的課程豐(feng) 富的暑期項目，多由本校的教授和研究生直接授課。
學術性強，接近大學課程。在1-2個(ge) 月的時間內(nei) ，以某個(ge) 數學專(zhuan) 題為(wei) 核心，研究其中的一係列問題，報告成果。
除了高強度的課程、講座、研討會(hui) ，也有豐(feng) 富的社交娛樂(le) 活動和旅行。

科普二：申請夏校有什麽(me) 用？
頂尖數學夏校含金量極高，錄取學生少，進入這些數學夏校對於(yu) 申請頂級大學有很大幫助；
從(cong) 申請流程和內(nei) 容而言，美國大部分優(you) 質頂尖夏校的申請難度以及材料準備不弱於(yu) 本科的申請，因此這是一次很好的本科申請的預演；
數學是大多數學科的基本，對於(yu) 不確定未來專(zhuan) 業(ye) 方向的學生來講申請數學夏校是最穩妥最有效的數學背景提升方法；
對於(yu) 數學非常有興(xing) 趣的學生，夏校是提前感受數學的基礎研究的大好機會(hui) ；
夏校本身課程質量相當高，課外活動十分豐(feng) 富，幫助申請人開闊眼界、提前體(ti) 驗美國大學生活，也有機會(hui) 認識許多厲害的同學和教授，對於(yu) 自身各方麵水平的提升都是很大的。

科普三：適合什麽(me) 學生參加？
高中部分的課內(nei) 數學知識已經基本掌握；
有一定數學競賽基礎和參賽經曆，比如曾在MATHCOUNTS、AMC10/12、AIME、ARML、HMMT、PUMaC等比賽中取得優(you) 異成績；
對於(yu) 數學的基礎研究有興(xing) 趣的同學，或者想要了解更多數學相關(guan) 領域的同學（夏校的課程不同於(yu) 解競賽題，而是針對一個(ge) 數學問題，不斷深入地思考，從(cong) 具體(ti) 到抽象，找出一般的規律的過程）
許多夏校可以二次參加，例如
ROSS中表現優(you) 異者會(hui) 被邀請參加第二階段的研究項目；
SUMaC有2種類型的課程，但是初次參加者隻能選擇1個(ge) 項目，第二年可以參加另一項目；
Awesome math的課程會(hui) 分成不同等級，如果初次參加選擇等級較低的課程，來年可能選擇更高級的課程

科普四：夏校申請的測試題有什麽(me) 特點？
不限時，獨立完成；
題目都是解答題，其中包括大量的證明題以及開放性問題；很多題目不要求一定要得出正確的答案，更重視展現自己的數學思考和發現結論的整個(ge) 過程；
很多問題給出一個(ge) 新穎的背景或者抽象的數學概念，引導你分析它的一些性質，通過歸納與(yu) 演繹，猜想與(yu) 證明，將概念逐漸抽象化，推廣到更一般的性質；
題目形式多樣有趣，並且不同夏校的測試題的風格差異很大，有偏重數論的（ROSS），有偏重組合證明的（SUMaC），有偏重代數技巧的（Awesome math），有綜合性的（PROMYS），有偏重高中課內(nei) 和大學基礎知識的（PRIMES），還有趣味性特別強的雜題型的（Mathily）。

Part 2： 我們(men) 來做個(ge) 遊戲吧
首先，我們(men) 先來玩個(ge) 遊戲吧
猜猜這是哪個(ge) 夏校的測驗題？你更喜歡哪種類型的題目呢？
夏校1

夏校2

夏校3

夏校4

夏校5

夏校6

如果你仔細看了每道題目的話，應該會(hui) 發現，無論是涉及的知識點（數論，組合，代數，幾何，大學數學），還是出題的風格（純解題性的問題，涉及抽象概念的研究型問題，趣味性強的研究型題目）都有很大的差異，那麽(me) 我來揭曉答案吧

答案
1 Mathily
2 Awesome math
3 Ross
4 SUMaC
5 PROMYS
6 PRIMES

Part 3： 試題特點與(yu) 夏校風格
ROSS：硬核派數論主題夏令營
ROSS的核心主題就是數論，無論是測試題還是活動期間的課程，都是圍繞著數論這一核心主題。因此，“是否對數論感興(xing) 趣”就成了你是否適合參與(yu) ROSS的首要判別標準。如果你不喜歡數論，那麽(me) 即使申請成功了，課程期間你可能也會(hui) 覺得頗為(wei) 無聊。
根據官網信息，試題中涉及的知識包括

我們(men) 以2021年的第4題為(wei) 例

本題目提出一個(ge) “binomid”的概念，題目背景其實是對於(yu) 組合數形式的一個(ge) 推廣，但是不同小問之間的差異還是很大的。（a）問主要是熟悉一下概念，比較簡單；（b）問會(hui) 涉及非常多的技巧，例如對於(yu) order概念的應用，用v(p)函數以及LTE引理來判斷質數的冪次，再利用取整函數性質進行證明；（c）問雖隻涉及取整函數的計算性質，但會(hui) 更加複雜一些；（d）問則是一個(ge) 開放性問題，需要自己來研究並發現一些新的數。

SUMaC：組合證明有點難~
SUMaC的測試題中，不同題目的難度差異是非常大的（其他夏校多是不同題目難度很接近）。SUMaC往往前2-3題比較簡單，後3題中的某些小問會(hui) 非常難（比IMO的3和6都要難），而且往往是探索研究性質的（即不一定有標準答案），需要自己去發現規律並證明。其題目的內(nei) 容雖對於(yu) 代數、數論、組合都有涉及，但是難題往往都是涉及組合證明的，因此對於(yu) 一些組合證明的技巧要求相當高（最好還會(hui) 編程，用來發現規律和驗證自己的猜想）

我們(men) 以2020年的第6和第7題為(wei) 例

可以看到，這2題的共同特點就是在某個(ge) 背景下，給定一種變化規律亦或是定義(yi) 了一係列操作規則，然後考察從(cong) 不同的初始狀態出發，經過一係列的變化或者操作，可能達到哪些不同狀態以及變化過程中的規律。處理這裏問題，需要很多的組合證明技巧，例如數學歸納法，組合構造技巧，不變量原理，極值原理等等（當然還需要頗高的數學天賦）。例如第7題的（b）問，需要構造一個(ge) 指數同餘(yu) 相關(guan) 的函數，證明在題目給定的規則中，函數是無法從(cong) 初始值變化到最終值的。

PROMYS：綜合性強，解題性與(yu) 研究性兼顧
PROMYS從(cong) 整體(ti) 難度上來講會(hui) 比ROSS和SUMaC低一些。題目涉及的知識點比較廣泛，代數、幾何、數論、計數、組合證明等都有涉及。試題兼顧了解題性和研究性，一般每道題目的第一問非常接近AMC或者AIME的題目，後麵幾問是在第1問的基礎上做了一定程度的推廣，有一定的研究性質。因此作為(wei) 申請夏校的入門，嚐試一下PROMYS的題目還是挺合適（但是錄取人數尤其是國際生非常少，因此申請難度還是很大的）。

我們(men) 以2020年的題目為(wei) 例

這是一道求期望的問題，車較少的情況可以通過枚舉(ju) 或者分類討論得到，但如果想推廣到更大的數或者一般情況，會(hui) 發現分類討論有點不方便。因此可以考慮遞推的方法，發現其實是一個(ge) 相對簡單的遞推數列。

這是需要研究數列的末位數字問題，初始情況可以通過同餘(yu) 和歐拉函數的進行計算，但推廣到一般情況則需要通過數學歸納法進行嚴(yan) 格證明。從(cong) 特殊到一般的過程中，非常好地融合了解題性與(yu) 研究性。

Mathily：題目這麽(me) 有趣的？
Mathily其實不算是特別有名的夏校活動，但是如果你仔細做了它的測試題，你會(hui) 感到非常有趣。每道題目都是一個(ge) 十分新穎的背景（多數還配了好看的卡通圖），在此背景下研究一係列的問題。此外，這些題目的門檻非常低，基本不需要任何的數學知識作為(wei) 基礎，主要是理解題目，通過自己的思考和推理發現一些規律性的東(dong) 西，再嚐試去計算或者說明。題目的問法與(yu) PROMYS很像，也是先考慮簡單情況，然後引導你推導到一般的規律。這些題目讓你在愉快的解題過程中，經曆了一次發現數學規律的過程。

我就不多說了，大家自己來感受下吧~~（包括前麵猜謎中的第1題）

Awesome Math：穩紮穩打，夯實基礎
Awesome的題目就是非常典型的競賽題了，主要考察的是代數，少量涉及幾何和數論。題目難度上，也就是一般的競賽題難度（接近於(yu) AMC10/12），相對其他夏校來講，還是頗為(wei) 簡單的。此外，Awesome的夏校課程也是按照模塊和等級，來介紹幾何、組合、數論、代數的競賽知識，基本不涉及大學的研究型領域。因此，Awesome更多適合那些剛剛接觸數學競賽，希望能夠學到更多本領，以後在AMC12/AIME/USAMO等比賽中取得優(you) 異成績的同學。
來看下2020年的部分題目吧

例如以上這些題目，都是非常普通的競賽型計算題，不涉及證明和開放性研究題目。隻要有基本的AMC10或者12的基礎，很多題目都是可以解決(jue) 的。

PRIMES：大學數學課程，你準備好了嗎？
PRIMES是MIT舉(ju) 辦的麵向高中生的研究型項目，為(wei) 了幫助高中學生更早接觸大學的研究課題。並且項目持續時間是一年，不僅(jin) 限於(yu) 暑期（最好是Boston附近地區的）。因此PRIMES的試題風格也比較明顯，特別注重數學基礎的掌握，一共分別2個(ge) 部分，分別是General Math Problems和Advanced Math Problems，前者涉及的是高中課內(nei) 知識和競賽類知識，包括多項式、複數、期望、數列、數論等等，後者涉及的是大學數學的內(nei) 容，包括圖論、抽象代數、線性代數、微積分、拓撲等等。出題風格上多是解題性的題目，研究性質的較少（PRIMES官網上有曆年試題的解析，其他夏校是沒有的）。因此此項目更適合喜歡數學研究，並且對於(yu) 大學數學已經有一定了解的同學。
我們(men) 來看下2021年度的試題

其中第一題是General Math部分的題目，考察的是數列與(yu) 數論，屬於(yu) 競賽數學的範疇；第二題是Advanced Math部分的題目，考察的是線性代數中向量空間的概念以及衍生的性質，需要同學對於(yu) 線性代數有一定的理解。

Part 4： 總結
結合以上的分析，我們(men) 可以得到一個(ge) 關(guan) 於(yu) 夏校信息和試題特點的總結，趕緊看一看你適合哪款夏校吧~

對於(yu) 自己適合申請什麽(me) 夏校，心裏有數了嗎