數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習等）

統計算法總覽

統計一詞源於(yu) 國情調查，一般來說包括三個(ge) 含義(yi) ：統計工作、統計資料和統計科學。其中統計工作是指的搜集、整理和分析客觀事物總體(ti) 數量方麵的資料，統計資料則是由統計工作所獲得的各項數字或文字資料，一般反映在圖表、分析報告、統計年鑒裏麵，而統計科學則是指導統計工作的原理、原則和方法。

因此，在數學建模比賽中統計問題一定要有文獻資源和數據資源的搜集，並且這一部分內(nei) 容也要反映在論文中，而整理通常來說是將搜集到的資料以圖表的形式呈現在論文中，最後分析自然就是數據預處理和統計算法建模求解。

1預測

預測，顧名思義(yi) ，即根據先用數據規律推算接下來的數據。而預測按照算法可以分為(wei) 四大類，一為(wei) 回歸分析，二為(wei) 概率估計，三為(wei) 時間序列，四為(wei) 機器學習(xi) 。

01回歸分析

對於(yu) 回歸分析，該類算法適用於(yu) 求解單一輸出的問題，在某種程度上可以叫做函數擬合，即利用一種函數去逼近原有數據。我們(men) 在高中階段學習(xi) 的線性回歸就屬於(yu) 一種預測方法，下麵給出幾種函數類型：

多項式擬合：數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

非線性擬合：數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

多元擬合：數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

如下圖所示，該圖像是利用了非線性函數對原有數據進行了逼近，有了函數自然也就可以根據輸入計算出接下來的數據，所以回歸分析也隻適用於(yu) 單輸出問題。而回歸分析的關(guan) 鍵問題就是對某一函數模型的參數進行求解，matlab中有專(zhuan) 門的擬合工具箱polyfit和lsqcurvefit:

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

這裏小編用MATLAB編了兩(liang) 種基礎的回歸分析程序。

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

02、概率估計

而對於(yu) 概率估計，其中的代表是馬爾科夫鏈算法，即先給數據劃分狀態，然後將數據的分布規律用狀態轉移來解釋。最後對於(yu) 當時數據的狀態，利用根據狀態間的轉移概率可以求得未來的狀態概率分布，自然也能求得下一狀態的預測值。

比方說，我隻去A,B,C,D四個(ge) 食堂吃飯，現在告訴你我吃飯的記錄，現在就需要計算我在這四個(ge) 食堂中的轉移概率，如我去食堂A吃過後再去四個(ge) 食堂吃飯的概率是多少？通過這些轉移概率不斷推算我下一個(ge) 要去的食堂，再根據四個(ge) 轉移概率得到最大可能去的食堂。但是這隻是離散問題的預測，對於(yu) 連續問題，自然也就需要將連續數據劃分為(wei) 若幹個(ge) 離散的狀態，在使用此方法。

此方法對於(yu) 初學者來說掌握會(hui) 比較困難，不過如果能成功使用會(hui) 為(wei) 論文添色不少，有興(xing) 趣的同學可以自行查找資料了解。（《數學建模算法與(yu) 應用》一書(shu) 上有講解）

03、時間序列

第三類稱其為(wei) 時間序列，因為(wei) 輸入是按順序的離散值，大多數情況下就是時間，針對此類問題，由於(yu) 輸入以穩定步長增長的，所以不用考慮輸入，直接研究輸出的變化規律，這一點類似於(yu) 高中學的數列，比方說有名的斐波那契數組：1,1,2,3,5...，它的數據特征是f(n+2)=f(n)+f(n+1),現在我們(men) 要求後麵的數就直接利用該數據特征就行了，當然也可以求出其通項公式，有興(xing) 趣的同學可以求著試試。

而時間序列方麵的算法其實就是猜測數據前後存在著什麽(me) 關(guan) 係，比如說：一次移動平均算法就是猜測每一個(ge) 數據與(yu) 最近的部分數據的均值存在著某種關(guan) 係，指數平滑法就是猜測每個(ge) 數據都跟之前的曆史數據的加權平均存在著某種關(guan) 係。這些算法都可以算作是時間序列算法，不過以上算法都是對數據特征簡單的猜測，而對於(yu) 更複雜的數據特征則可能會(hui) 用到微分方程，利用微分方程，即可以直接預測，還能用於(yu) 灰色係統，從(cong) 而將無規則數據轉化為(wei) 有規律的生成序列。

04、機器學習(xi)

最後一個(ge) 就是機器學習(xi) ，即我們(men) 隻需要搭好框架，數據特征則會(hui) 由其自己挖掘，比較有名的有：支持向量機（SVM）、決(jue) 策樹、神經網絡（深度學習(xi) ）。這種算法的最終目的是模擬人腦的結構，它的好處就是在搭建好網絡結構之後，通過對已有數據的學習(xi) ，網絡會(hui) 自行提取數據特征，然後隻要我們(men) 輸入一個(ge) 數據，網絡將自行計算，然後輸出它的預測值。這種方法的優(you) 點是方便，無需考慮數據規律和數據維度，而缺點則是要求數據量要大，少量樣本的訓練效果一般不具有適用性。

05、模型檢驗

預測問題中尤其還要注意的是對結果的檢驗，通常使用殘差和後驗誤差等作為(wei) 概率統計的檢驗，也可以用均方誤差MSE檢驗。

殘差值反映了預測值和原始數據的相對差距：

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

後驗誤差反映模型的精度：

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然後依據下表判斷模型精度：

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

均方誤差則是一個(ge) 簡單的誤差效果：

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）

2、分類/聚類

首先要弄明白分類和聚類的區別：

分類（判別）：數據包含數據特征部分和樣本標簽部分，分類的目的就是判別新的數據特征到其應有的樣本標簽（類別）中。

比方說，現在告訴大家一個(ge) 教室裏麵其中一半人每個(ge) 人的性別（男女），現在需要大家將另一半人中每個(ge) 人的性別判斷出來，因此大家首先要做的的找到區分性別的特征，然後應用到另一半人身上，將其歸類。

聚類：數據中隻有數據特征，需要根據某一標準將其劃分到不同的類中。

同樣的，現在一個(ge) 教室裏麵所有人都沒什麽(me) 標簽，現在需要你將整個(ge) 教室的人分為(wei) 兩(liang) 類，那麽(me) 你可以從(cong) 性別、體(ti) 型、興(xing) 趣愛好、位置等等角度去分析。

可以看到，分類其實跟預測差不多，隻不過輸出是一維的，並且還是整數，所以可以用預測中的機器學習(xi) 方法來解決(jue) 分類問題。而聚類則不同，一般來說，聚類需要定義(yi) 一種相似度或者距離，從(cong) 而將相似或者距離近的樣本歸為(wei) 一類，常見的有：kmeans算法、分層聚類、譜聚類等。

對於(yu) 聚類來說，除了相似性的度量之外，還有一個(ge) 比較重要的是終止條件，即需要聚成多少類，一般來說，基本都是在聚類之前就設定好需要聚成多少類，其中kmeans就是先設定幾個(ge) 類中心，然後將與(yu) 類中心相近的數據歸到那一類，然後不斷更新類中心，直至所有數據聚類完畢，而分層聚類則是相反，先將所有數據各自為(wei) 一類，然後將相似的類合並，直至達到k類為(wei) 止...
當然，也可以將終止條件改為(wei) 當最小的距離大於(yu) 某一閾值時，不再合並類（適用於(yu) 分層聚類），除了這些算法，還有機器學習(xi) 方法，如：自組織競爭(zheng) 網絡（SOM），可以自行了解。

接下來我們(men) 以分層聚類為(wei) 例進行講解，這一部分例子來自於(yu) 《數學建模算法與(yu) 應用》，用以輔助說明。通常來說，分層聚類有兩(liang) 類，一類是從(cong) 上到下的分裂（即現將所有個(ge) 體(ti) 看做一個(ge) 類，然後利用規則一步步的分裂成多個(ge) 類），另一類是從(cong) 下到上的合並（即先將每個(ge) 個(ge) 體(ti) 看作一個(ge) 類，然後依據規則一步步合並為(wei) 一個(ge) 類）。因此分層聚類最終可以得到一個(ge) 金字塔結構，每一層都有不同的類別數量，我們(men) 可以選取需要的類別數量。

例子：設有5個(ge) 銷售員w1,w2,w3,w4,w5,他們(men) 的銷售業(ye) 績由二維變量（v1,v2）描述：

數學建模之統計問題（回歸分析、時間序列、機器學習(xi) 等）