AMC12題選：把題目讀透解題就完成了一半

有計劃參加今年的AMC12的學生，從(cong) 暑假開始就必須開始做備賽規劃了。我近期將挑選幾道AMC12真題做一些分析和點評，希望能對大家有所啟發和思考。

我們(men) 在前三篇文章裏分別選擇了計數問題，數論問題以及多項式問題。本篇的題目如下：

設(a₁, a₂, …, a₁₀)是從(cong) 1到10這10個(ge) 整數構成的一個(ge) 序列，使得對任意2≤i≤10，a_i+1和a_i-1中至少有一個(ge) 出現在a_i前麵的位置上。滿足以上性質的序列一共有多少個(ge) ？

在這個(ge) 題目中，對序列的規則要求就隻有一個(ge) ，但這個(ge) 規則的描述“有點繞”，我們(men) 很難迅速了解滿足這個(ge) 規則的序列應該呈現怎樣的形式。

有少數題目的條件，如果直接按其當前的表述方式來使用是非常不方便的。此時，我們(men) 需要嚐試換一種方便使用（且等價(jia) ）的表述，或者把這個(ge) 條件更深層次的本質挖掘出來，再運用到題目的解答之中。

無論是哪種做法，目的都是更深刻地理解題目的條件。達到這個(ge) 目標的一個(ge) 很重要的路徑是“舉(ju) 例”，即構造幾個(ge) 滿足條件的具體(ti) 例子。

對這個(ge) 題目，我們(men) 先假設取a₁=1，則對照規則，a₂隻能取2。再進一步可知，a₃隻能取3。如此類推下去，每個(ge) 位置上的取值都是唯一的，即以1開頭的序列隻有一個(ge) 。

再假設取a₁=3。此時a₂可以取2或者4。如果取a₂=4，a₃可以取2或者5。如果取a₂=2，a₃可以取1或者4。

通過上麵兩(liang) 個(ge) 例子的構造過程，我們(men) 可以發現一個(ge) 特點：每一項都是緊挨著前麵已有的項（不一定是前一項）來取值，形成一個(ge) “不斷（向左和向右）延伸”的取值模式。這個(ge) 特性當然是由題目中設置的規則所決(jue) 定的。

為(wei) 了分析這個(ge) 特性對於(yu) 滿足要求的序列的數量的影響，我們(men) 來分析a₁=3的情形。3把其餘(yu) 的數“切割”成兩(liang) 組：{1, 2}, {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}。把這9個(ge) 數安排在不同的位置上，使它們(men) 滿足題目的規則要求。為(wei) 此，我們(men) 要注意下麵兩(liang) 個(ge) 結論：

1. 同一組內(nei) 的數有嚴(yan) 格的前後位置關(guan) 係。在前一組中，2的位置必須比1靠前；在後一組的所有數中，4的位置必須最靠前，5的位置必須比4的位置靠後，10的位置在整組中位於(yu) 最後。

2. 不同組內(nei) 的數的位置關(guan) 係完全沒有限製。比如2在前一組的數中位置最靠前，10在後一組的數中位置排在最後，但2在整個(ge) 序列中的位置可以排在10後麵，此時形成的具體(ti) 序列是

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 2, 1.當然，我們(men) 還可以構造其他順序的序列，例如

3, 4, 5, 2, 1, 6, 7, 8, 9, 10或

3, 4, 5, 2, 6, 7, 1, 8, 9, 10.

總之，就是把{2, 1}和{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}這兩(liang) 組數，在不破壞本組的排列順序的情況下，組合成9項的序列。組合的不同方式數恰好是從(cong) 9個(ge) 對象中選擇2個(ge) 對象的組合數。

記從(cong) n個(ge) 元素中取m個(ge) 元素的不同方式的數量為(wei) C(n,m)，則在本題中，以3開頭的序列恰好有C(9,2)個(ge) 。一般地，以k開頭的序列恰好有C(9,k-1)個(ge) 。例如，以1開頭的序列有C(9,0)=1個(ge) 。

因此，滿足題目要求的所有序列按照排在第一位的數分類，從(cong) 1到10共分成10類，每一類的數量依次為(wei) C(9,0), C(9,1), ..., C(9,9)。根據組合數的相關(guan) 公式，這10個(ge) 組合數的和恰好等於(yu) 2⁹，即512。

高中數學已經具有較高的抽象性，即使是一些基本概念和性質的理解，往往也需要借助簡單和具體(ti) 的例子才能理解得更透徹。數學表述雖然是嚴(yan) 謹的，但我們(men) 隻有了解清楚它所刻劃的實際圖景，才能知道怎樣去使用相關(guan) 的概念和性質。並且，通過對照數學表述和具體(ti) 例子，也有助於(yu) 我們(men) 更好地掌握數學語言的運用方法。

有舉(ju) 例子的意識，並且懂得舉(ju) 出有價(jia) 值的例子，幫助自己更快更深刻地理解抽象的數學表述，是衡量數學能力的一個(ge) 指標。下麵再給另一道真題，供大家思考和練習(xi) ：

設x和y是兩(liang) 個(ge) 不相等的非零實數，且滿足等式

請問x和y的乘積是多少？

這道題跟方程有關(guan) ，但不方便用常規的方程方法來解決(jue) 。一方麵，題目中隻有一個(ge) 等式，但有兩(liang) 個(ge) 未知數；另一方麵，題目並不要求確定每個(ge) 未知數的值，而隻需求它們(men) 的乘積。我們(men) 需要思考，怎樣換一個(ge) 角度來看待題目中的等式？