S19 2020年IMO金牌得主學習經驗談

一、灰劫昆明紅豆在，相思廿載待今酬

我離開數學競賽已約半載，終於(yu) 期末考試結束，得暇寫(xie) 下這篇文章，聊表拙見，談談我學習(xi) 數學競賽的心得。當然，因為(wei) 大家對數學競賽的體(ti) 會(hui) 不同，觀點亦有差距，此篇文章隻是介紹我粗淺的觀點而已。

二、形而上者謂之道，形而下者謂之器

在數學競賽的學習(xi) 中，有三個(ge) 層次是需要體(ti) 會(hui) 和學習(xi) 的。一是知識方法，常用的知識方法應當熟練掌握，以便很快地完成證明。二是解題思路，即解決(jue) 題目的路線、方向，找到思路後，往往落實證明並不困難。倘止乎此，就還差解決(jue) 思維難度高的題目的重要一環，即數學思想，為(wei) 什麽(me) 能找到這個(ge) 方向，為(wei) 什麽(me) 應嚐試這個(ge) 方向，例如幾何中化簡圖形的思想，便是在解決(jue) 幾乎所有題目時均有用處的。(數學思想是三部分中最重要的,更通用更萬(wan) 能,我們(men) 學習(xi) 做題是為(wei) 了解決(jue) 廣闊範圍內(nei) 的大量問題,在做題中提煉問題的共性,領悟各方法的優(you) 劣勢要比就題論題重要得多.)

因此，在學習(xi) 時需要認真思考，獲得思想之提升。在我講課時發現，一個(ge) 題目講五分鍾可以講完，因為(wei) 它的核心思想歸納後必然隻有幾句話（僅(jin) 限數學競賽題）。一個(ge) 題目講三個(ge) 小時也是可以的，比如我認為(wei) 我出的最好的題目（供新星征解第四十三期），就是我從(cong) 北京思考到上海，前後花費不小於(yu) 五十小時構思完成的。因為(wei) 出題需要很多失敗的試探，取得關(guan) 鍵突破後，形成題目給出解答也就不過一個(ge) 小時，當然最精華的是五十小時的過程，而呈現出來的隻能是一個(ge) 小時的題目和證明。(所以,不要讀那種純粹羅列解答的書(shu) ,尤其是明明計算了兩(liang) 頁確定係數313/717,證明隻寫(xie) 一句顯然看出結論的破書(shu) .)

以下將會(hui) 以數學與(yu) 文學同時為(wei) 例，介紹一些瑣碎但重要的內(nei) 容。

（1）學習(xi) 知識需要深入思考。在如今快節奏的社會(hui) ，靜心品味實是難上加難。但許多知識如不加思考，就無法領會(hui) 其真正精髓。例如有些題目間看似沒有關(guan) 係，實則思想想通，可以據此找到解題方向。例如加強數學歸納法（這是非常精彩的方法）的應用，亦有一些規律可循，隻是需要深入體(ti) 會(hui) ，參見拙作《從(cong) 2021年高聯第四題看加強數學歸納法》（發表在數學新星網）。再例如讀《紅樓夢》時如果不深入，或者習(xi) 慣從(cong) 互聯網上尋找答案，就會(hui) 認為(wei) 多愁善感是林黛玉的主要性格特點，但深入閱讀會(hui) 發現這明顯是對“眼淚還債(zhai) ”（脂批“千古未聞之奇文”）的誤讀，所以脂批說“知眼淚還債(zhai) 大都作者一人耳”，一般人都容易誤入淺嚐輒止的歧途。

(咦,我覺得多愁善感確實是主要性格特征啊,當然寄人籬下以及賈家腳踩兩(liang) 條船吃絕戶也是很重要的因素? 下次探討一下.)

（2）學習(xi) 需要嚴(yan) 謹性和批判思想。思維的嚴(yan) 謹性很重要，在思考和敘述證明過程時要盡可能嚴(yan) 謹。我學習(xi) 數學競賽時學到了全國不同名師的思想，最後再批判地轉化、重塑為(wei) 我的思想體(ti) 係和思維方式，這對我的幫助很大。有的習(xi) 以為(wei) 常的知識也並不一定是對的，比如對一些古人的名字的讀音，可以從(cong) 古代文學對音律的要求中尋找證據，會(hui) 發現平時的讀音可能是錯誤的，例如著名的司馬相（xiāng香）如，邊塞詩人岑參（cān餐）。

（3）我認為(wei) 學習(xi) 不同科目之間並無矛盾，真正的知識和方法應當是相通的，而學習(xi) 各個(ge) 學科必是相輔相成的。形而上者謂之道，形而下者謂之器。核心在道。

三、隱隱歌聲歸棹遠，離愁引著江南岸

若說學數學競賽的精髓，我認為(wei) 在學習(xi) 動力和學習(xi) 方法。如果當你在學習(xi) 時，你的內(nei) 心有堅定的聲音說：我努力學習(xi) 是高尚的、是正確的，我最後必能有成就，那麽(me) 你就有了學習(xi) 的動力，再加上正確的方法，學好任何學科都是容易的。

如果問如何培養(yang) 一個(ge) 學生，如果這個(ge) 學生完全領會(hui) 到了某位競賽高手的思維方式，那麽(me) 拿到全國金牌還是比較容易的。但這是一個(ge) 理想狀態，卻完全有可能，它需要動力、默契、敬畏和時間。而如果期待幾天就如何如何，那和詐騙的話術就頗為(wei) 相似了。

(學習(xi) 數學競賽屬於(yu) 需要極大的創造力和主動性的工作,沒有強大的源動力難以做好.)

以上，有許多內(nei) 容看似毫無用處，又有些東(dong) 拉西扯，它們(men) 隻是我寫(xie) 到那裏，有感而發。畢竟真正深入的體(ti) 會(hui) 絕非一千三百餘(yu) 字便可道出的，本文不當之處在所難免，希望對大家有所啟發。