AIME考試介紹！題目難度/答題策略/曆年分數線/考點總結

AIME考生都來了嗎？咳咳，你的“救急”錦囊來了！

距離AIME開考僅(jin) 有一周時間了，是否有感到時間不太夠，心態不太穩？本文從(cong)

• AIME考試信息
• AME與AMC知識點的差異
• 答題注意事項（Tips）
• AIME題目難度
• AIME答題策略
• AIME曆年分數線
• AIME曆年考點總結和超強預測
• AIME知識圖譜

總共八大角度，為(wei) 大家細致剖析了AIME考試需要注意的點點滴滴。已為(wei) 你匯總完畢，記得收藏好！

 

01

AIME考試信息

【考試時長】：3小時

【考試日期】：2022年2月9日下午13:00-16:00（AIME1）

【試卷語言】：中英雙語

【試卷構成】：15道填空題，每道題的答案都是在000-999之間的整數

【滿分】：15分

【計分方式】︰一題一分，答錯不扣分

 

02

AIME與(yu) AMC10/12的差異

差異一： 不同的考試形式

從(cong) 75分鍾25題的選擇題，變成3小時15題的填空題，巨大的考試形式的差異，這意味著我們(men) 不再可以用選擇題的答題技巧（如排除法、試數法、度量法等等），而是要硬碰硬地去解決(jue) 每一道題目。在相對比較充足的時間內(nei) ，理解題意，聯係對應的知識點和技巧，通過一步一步地推理和計算，得到正確的結果。這非常考驗數學的基本功，也考驗心態和計算的穩定性。

差異二： 更多的知識點

AIME的大部分考點都是與(yu) AMC12一致的，此外在幾何、數論、組合模塊各多了少量的知識點，這些知識點大多比較複雜，一般出現在AIME的後5題中，掌握這些知識點是衝(chong) 擊高分的關(guan) 鍵。但是不要忘記前10題中，多數還是AMC10和12的核心知識點，因此鞏固強化AMC部分的內(nei) 容也是很重要的。（注：對於(yu) AMC10首次晉級AIME的考生來講，備考AIME首先需要了解AMC12相比AMC10所多出的內(nei) 容）

AIME相比AMC12新增的核心知識點

☞ 代數：無

☞ 幾何：三角形的多心問題 根軸與(yu) 根心 塞瓦定理（Mass point方法） 位似變換

☞ 數論：高次同餘(yu) 方程 指數型同餘(yu) 計算問題（費馬小定理與(yu) 歐拉定理、LTE引理、階與(yu) 原根相關(guan) 定理） 線性不定方程

☞ 組合：無窮時間狀態的期望問題 標數遞推 生成函數計數

AMC12相比AMC10新增的核心知識點

☞ 代數：對數 三角函數 複數與(yu) 單位根 多項式的根 圓錐曲線 三維坐標係 多重數列求和

☞ 幾何：圓冪 圓內(nei) 接四（多）邊形 內(nei) 心與(yu) 圓外切四邊形 正餘(yu) 弦定理 Stewart定理

☞ 數論：中國剩餘(yu) 定理

☞ 組合：遞推計數 插板法

差異三： 更加靈活和綜合的題目

AIME題目的最大特點就是靈活性和綜合性。因此需要考生有很強的思維發散性，不要禁錮於(yu) 某些刻板的公式和套路，而是真正去理解、思考、聯想，找到隱藏在眾(zhong) 多表麵線索背後的本質。

➤ 靈活性：AIME裏很多題目的考察不注重固定的知識點（性質或公式），而是背後的一些數學思想。例如代數部分，無論是對數題、三角題、複數題，都可能會(hui) 考察一些代數變形的思想和技巧，如整體(ti) 代換、因式分解、遞推方法、對稱式和輪換式、自相似、賦予代數式幾何含義(yi) 等等。這些技巧都非常靈活，不是死記硬背就可以套用的公式，需要考生拿到題目時，進行思考、分析、嚐試，確定最合適的方法，然後再進行求解。

➤ 綜合性：AIME的很多題目都可能會(hui) 涉及多個(ge) 模塊的知識點，即涉及交叉領域的題目。例如一道三角函數的題目，可能會(hui) 牽扯複數和多項式的技巧以及幾何的性質；一道幾何的題目，可能會(hui) 用複數和坐標係的方法；一道代數的題目如果有很多整數的條件，可能會(hui) 和數論有很大的關(guan) 係；一道概率計算的題目，可能最終是一個(ge) 遞推數列求解或者多重數列求和的問題。

➤ 多樣性：AIME的題目往往會(hui) 有很多的切入點，也會(hui) 有多種解法。例如一道組合題目，可能可以用分類討論加枚舉(ju) 解決(jue) ，可能可以用遞推進行計算，也可能用一一對應的方法一步解決(jue) 。一道幾何題，可能可以用勾股和相似解決(jue) ，可能可以用三角暴力計算解決(jue) ，也可能用建坐標係的方法解決(jue) 。因此越“多才多藝”的同學，在做AIME題的時候，越是能夠找到最合適的方法，提高自己的正確率。

 

03

答題注意事項

❶ 在考試前先確定自己的答題策略：

➤ 自己的目標是做到第幾題，做出多少道題目？

➤ 一道題目目標是花多少時間？最多花多少時間？

➤ 最後留多少時間來檢查？

➤ 自己有沒有特別擅長的模塊？要不要優(you) 先做自己擅長的題目？

➤ 有沒有特別薄弱的模塊？要不要先跳過自己薄弱的題目？

❷ AIME部分需要記住的公式：

➤ 代數：三角恒等變換公式（注意積化和差-和差化積），複數單位根相關(guan) 公式，三角的複數表示公式，對數運算公式，遞推數列求解通項方法，均值不等式，高次方程韋達定理，圓錐曲線的方程，坐標係中距離公式（點-直線，直線-直線，點-平麵），直線夾角公式，鞋帶定理；

➤ 幾何：常見麵積和體(ti) 積公式，勾股定理，正餘(yu) 弦定理，圓冪計算公式，三角形center的相關(guan) 性質，托勒密定理，Stewart定理，塞瓦定理（或者mass point的性質）；

➤ 數論：因式分解公式，因數相關(guan) 公式（個(ge) 數、和、乘積），不同進製轉化公式，同餘(yu) 計算法則與(yu) 同餘(yu) 方程解法，中國剩餘(yu) 定理，費馬小定理與(yu) 歐拉定理；

➤ 組合：插板法公式，二項式定理，Hockey-Stick恒等式，容斥原理公式；

❸ 解題前，先想一想：

➤ 幾何題可以想想能不能建係做？如果建係的話，計算量是否合適？最後決(jue) 定用什麽(me) 方法；

➤ 三角函數化簡問題，可以考慮能不能用複數表示後再化簡；坐標係中涉及點旋轉的問題，可以考慮用複數表示；

➤ 遞推數列問題，先算幾項找找規律，看看是不是周期數列；再思考能不能用累加累乘或者特征方程求解通項；如果不可以求通項，可以考慮相鄰兩(liang) 個(ge) 式子相減，消常數後因式分解或者構造新數列；如果遞推關(guan) 係明顯與(yu) 整數有關(guan) ，需要從(cong) 數論的角度來考慮；

➤ 代數題或者幾何題中，如果強調變量都是整數，那麽(me) 很有可能最後是數論題（例如列出一個(ge) 整數方程）；

➤同餘(yu) 類問題，要分清楚是線性/多項式類同餘(yu) 問題，還是指數型同餘(yu) 問題，前者可能涉及中國剩餘(yu) 定理和線性同餘(yu) 方程組的求解，後者可能涉及費馬小定理和歐拉定理、階與(yu) 原根的性質、LTE引理。

➤ 組合題要分清楚是普通計數問題（普通方法），有限時間狀態（標數遞推法）還是無窮時間狀態（狀態轉移圖和列方程），它們(men) 的解題方法完全不同；

➤ 組合計數題中，“至少存在（at least）”類問題和“都不滿足”類問題，可以考慮算反麵（complementary counting）和容斥原理（PIE）；間隔與(yu) 相鄰類問題，分配與(yu) 選擇問題，可以考慮插板法；經過分類討論， 能把情況n變為(wei) n-1或n-2或者更小的情況，可以考慮遞推方法；

❹ 做題過程中的注意事項

➤ AIME中有些題目文字較多，基本上數學題中不會(hui) 有沒用的信息，因此一定要仔細讀題看圖，如果線下考試的話在上卷上標記出重要信息，如果線上考試則在草稿紙上寫(xie) 下題目的重點信息；

➤ 線上考試的同學，幾何題無論有沒有給圖，都在草稿紙上畫一遍圖（建議多準備幾支不同顏色的筆）；

➤ 草稿也不要寫(xie) 得太亂(luan) ，要讓自己檢查的時候很快能找到每一步的計算結果；

➤ 雙語試卷讀題時，先看自己熟悉的語言，如果覺得題目有歧義(yi) ，再看另一種語言來確認；如果有配圖的，可以先看圖再看文字；

 

04

AIME題目難度

從(cong) 表格可以看出，15題中，1-5題，6-10題，11-15題這三個(ge) 區間的題目正確率的差異還是較大的，因此我們(men) 可以這樣來分類：

➤ 1-5題（簡單題）：正確率在50%以上。這部分基本對應AMC10/12的11-20題的難度。

➤ 6-10題（中等題）：正確率在15%-50%中間。這部分基本對應AMC10/12的21-24題的難度。

➤ 11-15題（難題）：正確率在15%以下.這部分題基本對應的都是AMC12的壓軸題的難度。

注：這個(ge) 分類並不是完全精確，可以發現有些年份中，1-5題中也會(hui) 有中等難度題，6-10題中也會(hui) 有難題，11-15中也會(hui) 有相對簡單的題目。因此大家做題時，如果某道靠前的題目完全沒有思路，說明可能就是一道難題，則可以及時跳過；後5題也不要看都不看一眼，說不定也有不那麽(me) 難的題目~~

 

05

答題策略

1-5題正常按照順序做，當感覺到題目變得複雜時（大約是從(cong) 第6題附近開始），可以考慮以下策略：

➤ 均衡型：如果自己不同模塊的水平比較均衡，可以按照題目順序進行答題，每道題目控製好時間，一道題目上卡了太久就及時跳過。

➤ 模塊回避型：如果自己在某一模塊上明顯薄弱（例如組合），那麽(me) 就先全部跳過此類題目，完成其他題目後若還有時間再回過頭來做這類題目。

➤ 模塊優(you) 先型：若自己不同模塊的水平差別十分明顯，那麽(me) 建議可以根據自己不同模塊的水平，從(cong) 高到低依次解答剩餘(yu) 題目。例如幾何最強則先做幾何，組合最弱則最後做組合。

06

曆年AIME分數統計

注：以上均為(wei) 美國本土的考生數據。2021年應該把缺考的考生都記為(wei) 了0分，因此0分考生的占比非常高，且同一分數在2021的百分比排名也比其他年份靠前許多。

07

AIME考點總結與(yu) 預測

08

AIME知識結構圖

08

總結：還有一周，如何高效複習(xi) ？

• 閱讀完整篇文章，思考清楚自己的目標、答題策略、時間分配方案；
• 最近3年的真題卷，如果還沒有刷過的同學，一定要再做一遍（有時間的可以做最近5年的）；
• 整理一遍之前的錯題，重新做一下；
• 對照前麵的知識結構圖，在筆記本上逐條寫出相關的性質、定理、解題方法等，如果發現自己不太熟悉的部分，趕緊複習一下或者尋求老師的幫助；
• 考前一天，切記不要刷太多的題目，把知識點過一遍後，調整好狀態，早點睡覺休息！

最後，祝各位AIME的考生，能夠在本次考試中，發揮出自己的全部水平，取得理想的成績，在衝(chong) 擊數學賽事的更高榮譽的路上，踏出堅實的第一步。