2022年AIME考前知識點分析（四）

各位同學新年好，今天初三，春節繼續給大家送福利，今天接著帶來排列與(yu) 組合、複數的講解。

PART 1：排列和組合

在AMC中排列與(yu) 組合考察的題目相對來說比較簡單，主要通過以下方法進行求解：

① 常規的乘法原理、加法原理、排列與(yu) 組合的混合運用；

②捆綁法、插空法等綜合運用；

③排除法：at least, at most題型；

④分類討論：不重不漏；

⑤重複排列、圓排列；

⑥伯努利分布、二項式定理、三項式定理或四項式定理的綜合運用。

所以AMC在排列組合中難以出現比較困難的題目，隻要以上知識點掌握熟練，然後注意細節，基本上還是不會(hui) 出現特別困難的題目。但是在AIME題目中，以及比較困難的AMC題目，則從(cong) 轉化角度對排列組合這個(ge) 知識點進行考察，基本上要把握好以下原則：

① 對文字語言轉化為(wei) 幾何圖形問題；

②把幾何圖形問題轉化為(wei) 方程組的解的問題，或者回到AMC所考察的知識點中來。

轉化問題第I類：配對問題轉化為(wei) 幾何圖形問題

在AMC中曾經考察的類似題目為(wei) ：

AMC 10-2012A-23

AMC 10-2012B-24

關(guan) 於(yu) 這兩(liang) 道題的解析，可以加後文的微信索取。AOPS的解析依然還是沒有係統性的解決(jue) 類似的的配對問題。

我們(men) 看一下AIME中的考察：

首先要理解這道題的題意，然後把這道文字題，轉化為(wei) 幾何圖形問題，就簡單很多。

這道題很多同學疑問的地方是為(wei) 什麽(me) 10個(ge) 圍成一個(ge) 圓圈符合、2個(ge) 5+5的圓圈符合，而8+2，7+3,6+4的形式就不可以呢？因為(wei) 注意到如果存在一個(ge) k使得條件不滿足，則這個(ge) 集合內(nei) 部將實現一個(ge) 置換。若使得不存在的置換，則隻有兩(liang) 種情況，要麽(me) 所有數是構成一整個(ge) 置換，要麽(me) 構成兩(liang) 個(ge) 大小為(wei) 5的置換，而8+2，7+3,6+4都可以找到一個(ge) 相對稱的置換。

當轉化為(wei) 幾何圖形時，分為(wei) 四種情況，則題目就簡單很多（注意：一共4種情況，容易漏其中一種或者兩(liang) 種）：

轉化問題第II類：幾何圖形轉化為(wei) 方程組解的問題

下麵同類型的題目就顯得有點困難一些：

很多同學在處理這道題的時候，對減掉3*（50C2）不知道是什麽(me) 原因導致的，這個(ge) 題是經典的帶限製條件的不定方程求組數解的題目。關(guan) 於(yu) 這個(ge) 知識點，是AMC的知識點，我們(men) 簡單再複習(xi) 一下。

比如如下這兩(liang) 道題答案是不一樣的：

①12x+4y+3z=567的非負整數解的組數；

②12x+4y+3z=567的正整數解的組數；

③12x+4y+3z=567且1≤x,y,z≤45的解的組數。

這個(ge) 題目還是要用擋板法，用文字解釋不清楚，語音比較方便，想要知道以上三個(ge) 題目的區別，以及上文的“減掉3*（50C2）”的具體(ti) 方法的，可以加我微信，然後語音和圖片的方式來回複。有很多同學想要排除法，排除掉所有直角三角形和鈍角三角形，也是可以的，就是略顯麻煩。

我們(men) 再看一下在點撥（二）中提到的一道題：

上次我們(men) 是用代數的方法（具體(ti) 可以看點撥二），現在我們(men) 用幾何的方法再處理一遍：

考慮3行6列的18個(ge) 不同的小球，每次我可以選若幹的點，總共選6個(ge) 點。S是這樣的選擇的總個(ge) 數，但我們(men) 也可以用下麵的綜合計數的方法：我從(cong) 18個(ge) 球中任意挑選6個(ge) ，這兩(liang) 種答案應該是一樣的。因此答案就是18C6=18564。

轉化問題第Ⅲ類：分類與(yu) 分步

分類討論是所有競賽都會(hui) 考察的數學思想，需要掌握以下幾點：

①不重不漏：這是最重要的；

②建立的分類標準，不能使分的類別超過5種；

③在分類時，對於(yu) 一些複雜的題目，要把個(ge) 例和通例結合在一起綜合思考。

分步最關(guan) 鍵的是分步的路徑，一旦路徑的順序錯誤，將會(hui) 非常麻煩，甚至會(hui) 出現錯誤。

現實中很多題目，分類和分步是難以清晰的分開的，兩(liang) 者緊密的結合在一起。我們(men) 看一道題目，堪稱是分類和分步在一起的絕好典型：

下麵給出這道題的解析：

因為(wei) 分類和分步是常規的題型，技巧性很傳(chuan) 統，這裏不再做進一步贅述。

Part II：複數

AMC比較喜歡考察複數的基礎，比如高次方程的解的存在性、高次方程的解所圍成的圖形的麵積，比如類似下麵的題目：

所有的點所圍成的凸麵圖形的麵積；

或者

的四個(ge) 點正好是一個(ge) 橢圓焦點弦（過橢圓的焦點與(yu) 長軸垂直的弦）與(yu) 橢圓的四個(ge) 焦點，求離心率e，等等，總體(ti) 上來說，AMC對複數的考察還比較基礎，難題集中在複數的高次方程的幾何意義(yi) 這個(ge) 點上。

而AIME則要複雜一些，它著重於(yu) 與(yu) 多項式、數列、韋達定理、二項式定理等結合在一起考察，而且很容易出現高次項。比如如下的題目：

在具體(ti) 解這個(ge) 題目之前，我們(men) 看以下內(nei) 容（w≠1）：

以上，很容易看出來|w|=1，推到的方式都是用的等比數列求和公式。

記住第一個(ge) 公式，以及相應它的變形，因為(wei) 以後你會(hui) 經常用到。

以上題目經過變形為(wei) ：

到這裏之後，可以有多種處理方法，比如：

①兩(liang) 邊同時取模，當然需要對

兩(liang) 邊也要取模，然後聯立求角度的值，想一下這是為(wei) 什麽(me) ？

②利用兩(liang) 邊實部相等，虛部相等，然後列兩(liang) 個(ge) 式子，求角度的值；

③采用猜的形式，這個(ge) 最簡單，就是z^8,z^28隻能是

想一下為(wei) 什麽(me) ？

 

同樣的，如下題：

很容易驗證：

這證明了S1，S2和S3應該是x^3+C=0的三個(ge) 跟，然後剩下的就很簡單了，這是為(wei) 什麽(me) 呢？

這證明了S1，S2和S3應該是x^3+C=0的三個(ge) 跟，然後剩下的就很簡單了，這是為(wei) 什麽(me) 呢？