2022年AIME考前知識點分析（一）

AIME與(yu) AMC相比，在廣度和深度上AIME都是AMC的加強版，如果不去強化複習(xi) ，大體(ti) 上來說，AIME和AMC的分數可能會(hui) 呈現如下的對應關(guan) 係：

AIME的7和8是過渡題型，前6題隻能說是給同學們(men) 熱熱身，相當於(yu) AMC 19~22的難度，然後AIME 9~15是難題階段。

在前6題大家的差別不是很大，大家的差別都會(hui) 集中在後麵的10道題。就跟人生一樣，人和人的差別在下半場，上半場隻要不是無力乏天，下半場仍然有得追。

平麵幾何部分

在平麵幾何部分，AMC更多的偏傳(chuan) 統幾何，即用歐氏幾何的傳(chuan) 統定理來解決(jue) 幾何問題，而在AIME中，13~15的幾何題，則需要考生具備極其靈活的思考能力—前提條件是要通過大量的刷題，來總結大量的常規量和常規模型，從(cong) 而形成的“靈感”，這個(ge) 在幾何題中最常見。

簡單舉(ju) 幾個(ge) 例子：相似擴大模型、13-14-15的三角形、AIME中建坐標係的3種條件、同頂的角平分線與(yu) 中位線垂直平分模型、六大類四點共圓的模型、塞瓦與(yu) 梅涅勞斯與(yu) 斯圖瓦特的向量替代定理，三角形的6心以及性質及其向量表現形式，等等。Let us see see 一些例子。

舉(ju) 例1：相似擴大

（所謂相似擴大，就是內(nei) 切於(yu) A點的兩(liang) 個(ge) 圓P和O，分別對應的裏麵的△ADE與(yu) △ABC，則兩(liang) 個(ge) 三角形相似，且相似比為(wei) 兩(liang) 個(ge) 圓的半徑之比）

特別的，如果BC正好與(yu) 圓P相切，又會(hui) 產(chan) 生另外一條性質，即AF是∠A的角平分線：

（所謂相似擴大，就是內(nei) 切於(yu) A點的兩(liang) 個(ge) 圓P和O，分別對應的裏麵的△ADE與(yu) △ABC，則兩(liang) 個(ge) 三角形相似，且相似比為(wei) 兩(liang) 個(ge) 圓的半徑之比）

特別的，如果BC正好與(yu) 圓P相切，又會(hui) 產(chan) 生另外一條性質，即AF是∠A的角平分線：

類似的相似擴大，也適用於(yu) Equiangular Hexagon模型的使用（等角的六邊形，出現大量的相似，也是AIME特別喜歡考的一種類型的題目：首先強調畫圖，先畫一個(ge) 等邊三角形，然後…）

如果有“兩(liang) 圓內(nei) 切的相似擴大”的常規題型，那麽(me) 下麵這道題就比較容易了：

舉(ju) 例2：13-14-15必畫坐標係

一般來說，利用坐標係（二維或三維）來解的題目，分為(wei) 兩(liang) 大類：① 出現兩(liang) 對垂直關(guan) 係；② 出現特殊角或特殊邊：比如出現15°的整數倍的角；出現18°整數倍的角；出現5，7，8；出現13，14，15的三角形（畫的時候14為(wei) 底邊，13和15是兩(liang) 邊，14的高為(wei) 12，而且以其作為(wei) y軸，以14的邊作為(wei) x軸，則所有的點都是整數點、所有直線的方程都可以寫(xie) 出來，那麽(me) 也就容易解決(jue) 一切關(guan) 係了）。

當然這不是絕對的，比如如下的題目，用傳(chuan) 統幾何的方法，很容易做出來：

但是如果你建坐標係：

建坐標係，則計算量將會(hui) 非常大。其實這道題是歸結到另外一個(ge) 模型：即六大類四點共圓的模型。

所以，如果你學東(dong) 西學的一知半解，你就會(hui) 犯教條主義(yi) 的錯誤，就像九陽真經練到第五重一樣，進入到走火入魔的階段，如何度過這個(ge) 階段？繼續第六重到第九重的訓練，見天地與(yu) 眾(zhong) 生，然後才能真正的克服自己的缺陷。

函數部分

接下來我們(men) 看一下函數部分的例子（函數部分AIME共15個(ge) 知識點）。比如：

舉(ju) 例1：韋達定理

（有些15題，是韋達定理搭配複數的高次方程，或者韋達定理搭配解析幾何）的使用，AIME就要比AMC要考察的內(nei) 容深度和廣度要大，而且對計算能力要求很高，比如如下的題目：

初級難度：

中級難度：

高級難度：

以上所有這些題，離不開以下公式，也就是說是下麵這些公式的靈活運用。

舉(ju) 例2：跨整數分析

我們(men) 先看去年的一道考題：

這道題跟以下這兩(liang) 道題其實都是一個(ge) 知識點—跨整數分析