2021年劍橋STEP數學考試備考指南

1. 官方真題和答案

掃描或識別下方二維碼，通過《牛劍備考｜劍橋STEP》頁麵下載STEP 2和STEP 3曆年真題合集(PDF)，或通過劍橋大學官網下載STEP真題和答案。

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

2. 官方推薦解題類、教材類讀物

No.1

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

How to Think Like a Mathematician

這本書(shu) 由劍橋大學出版，講解了基本的數學思想、邏輯推理和證明方法，大部分章節配有少量的練習(xi) 題，盡管封麵推薦作為(wei) 本科數學專(zhuan) 業(ye) 學生教輔，但也同樣適合備考牛劍數學專(zhuan) 業(ye) 的高中生閱讀和學習(xi) 。

No.2

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

Solving Mathematical Problems

這本書(shu) 由牛津大學出版，全書(shu) 不到100頁，介紹了數學解題的一些基本策略，列舉(ju) 了一些淺顯易懂的例題，例題範圍涵蓋數論、代數、歐幾裏得幾何、解析幾何等知識領域。

No.3

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

Advanced Problems in Mathematics

這本書(shu) 也是劍橋官方推薦的，適合於(yu) STEP備考的解題類讀物。要是這些書(shu) 還不能滿足，可以挑戰下麵這本書(shu) 。

No.4

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

A Concise Introduction to Pure Mathematics

這本書(shu) 裏麵有些例題、方法基本就是STEP試題的原型。

如果上麵這些資料還覺得不夠，可以參考另一篇文章裏更多官方推薦讀物：

3. 同級別數學競賽題

推薦英國數學奧賽British Mathematical Olympiad。BMO Round 1全是簡答題(2020年受疫情影響，題型改為(wei) 選擇題+簡答題)，有些題跟劍橋STEP出題風格類似，裏麵關(guan) 於(yu) 代數、數列、幾何的題可以拿來練練手，對備考劍橋STEP有一定的幫助。但需要注意的是：高中數學競賽題一般不涉及微積分，而劍橋STEP必考微積分，且占比不小。

對於(yu) 10年級(G年級)、11年級(AS年級)上學期就開始準備STEP的學生而言，美國數學競賽AMC 10和12、英國數學挑戰賽UKMT的IMC和SMC也都是非常值得挑戰的數學競賽。

備考意義(yi)

備考STEP的意義(yi) 有哪些？

1. 提升英國G5大學申請的競爭(zheng) 力

毫無疑問，在如今因為(wei) 疫情各大考試局取消A Level大考而改為(wei) 評估的大背景下，A Level數學和高數的評估成績A*的說服力大不如從(cong) 前。而2021年劍橋官方宣布STEP再次麵向所有學生開放，無疑對眾(zhong) 多希望申請牛劍、G5大學、期盼能取得更有說服力的考試成績的學生來說是一個(ge) 重大利好：在STEP 2和STEP 3考試中取得等級1以上的成績在證明學生數學學術水平方麵極具說服力！

建議各位希望申請牛劍的學生盡早準備、積極備考STEP，從(cong) 而提升申請英國名校時的競爭(zheng) 力。

2. 養(yang) 成良好的數學思維方式和書(shu) 寫(xie) 習(xi) 慣

STEP試題注重考查學生的數學思維方式和習(xi) 慣。因為(wei) 思維方式不能很好的與(yu) STEP要求的方式匹配，會(hui) 導致答題困難，而書(shu) 寫(xie) 習(xi) 慣不好、推理過程不嚴(yan) 謹會(hui) 導致得分不高，而解答過程詳略不當會(hui) 浪費答題時間。具備優(you) 秀數學素養(yang) 的學生會(hui) 很容易適應STEP試題、輕輕鬆鬆取得高分。所以，STEP指導老師會(hui) 指導初學STEP的學生在初始階段養(yang) 成良好的數學思維方式和書(shu) 寫(xie) 習(xi) 慣。

3. 為(wei) 牛劍、帝國理工麵試做準備

牛津、劍橋的數學、計算機類專(zhuan) 業(ye) 的部分麵試題難度達到甚至超過了STEP考試的難度，更是遠遠超過牛津MAT考試的難度。不少同學認為(wei) 如果隻申牛津或帝國隻需要考MAT即可，殊不知真正能進入到麵試環節的很多學生都早早著手STEP備考，已經經過了大量訓練並適應了麵試題的難度，至少能更從(cong) 容的應對與(yu) STEP難度相當的麵試題。而盡管帝國理工麵試題難度遠不如牛劍麵試，但最終計算機專(zhuan) 業(ye) 給出的錄取仍然會(hui) 帶STEP 2和3的成績作為(wei) 錄取條件。所以，即便不在11年級或AS年級參加STEP考試，但能提前準備STEP也是非常有必要的。

4. 體(ti) 驗劍橋大學經典的數學考試方式

STEP考試與(yu) 劍橋大學數學專(zhuan) 業(ye) 的考試風格一脈相承，盡管全卷均為(wei) 簡答題，但試題各個(ge) 小問的難度層次分明，且提問極具啟發性。STEP試題往往通過前麵幾個(ge) 小問的設計引導學生一邊嚐試一邊學習(xi) 新的解題思路和方法，然後在最後一問設置極具挑戰性的問題，考查學生是否能順利將前麵習(xi) 得的解題方法應用在新的情景中。這種考試方式很容易鑒別學生學習(xi) 數學的潛質和基本的數學素養(yang) 。

數據分析

曆年STEP成績數據分析

下麵給出近十年STEP 2和STEP 3等級S、1和2的分數線和各等級人數百分比。

STEP 2各等級劃分標準和各等級人數百分比

年份	等級S	占比(%)	等級1	占比(%)	等級2	占比(%)
2011	83	10.0	62	20.9	49	21.9
2012	91	9.0	72	16.7	60	16.2
2013	100	8.0	79	16.8	67	13.5
2014	95	6.7	74	16.2	64	10.7
2015	94	7.9	68	20.0	60	10.0
2016	95	8.0	74	18.5	65	10.8
2017	101	6.3	80	15.5	69	14.7
2018	100	7.7	77	17.9	65	13.8
2019	90	7.5	68	17.3	55	14.0
2020	77	9.3	54	21.5	42	17.6
平均	92.6	8.0	70.8	18.1	59.6	14.3

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

從(cong) STEP 2近十年的成績統計圖可以很直觀的看出：

近4年STEP 2各等級分數線下降明顯，尤其是遭受疫情的2020年，並沒有因為(wei) 考試人數減少、分母增加而導致分數線上漲，反而分數線降至近十年最低值。等級S的人數占比基本穩定在8%左右，而等級1的人數占比基本在15%-20%之間浮動，這意味著基本隻有成績排名前25%左右的學生是可以順利將帶等級1條件錄取的劍橋offer轉正。
等級1的分數線基本在70分上下，這意味著學生要能做對6道題中的4道以上。考慮到STEP 2的題目相對STEP 3更難，這對絕大多數學生來說都是極其具有挑戰性的。這也能說明為(wei) 什麽(me) 隻有25%左右的學生可以順利拿到STEP 2等級1的成績。

STEP 3各等級劃分標準和各等級人數百分比

年份	等級S	占比(%)	等級1	占比(%)	等級2	占比(%)
2011	91	14.9	65	24.8	52	18.1
2012	84	12.7	65	26.5	53	20.4
2013	85	12.3	63	24.3	48	20.1
2014	81	11.0	59	24.4	48	16.8
2015	88	11.8	65	25.5	54	14.1
2016	88	11.0	64	25.6	55	13.5
2017	95	10.8	69	24.0	57	16.1
2018	87	10.2	59	23.0	49	15.7
2019	77	11.4	57	24.9	48	47.1
2020	88	11.6	67	26.6	53	20.1
平均	86.4	11.8	63.3	25.0	51.7	20.2

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

從(cong) STEP 3近十年的成績統計圖可以很直觀的看出：

各個(ge) 等級的分數線有波動，但是沒有明顯的下滑或者上升趨勢，這也與(yu) STEP 3的命題難度相對穩定有關(guan) 。
等級S的人數占比基本穩定在11%左右，而等級1的人數占比基本穩定在25%左右，也就是成績排名前36%左右的學生可以順利拿到STEP 3等級1。
等級1的分數線基本在65分上下，這意味著學生要能做對6道題中的3道半以上。STEP 3的考點覆蓋進階數學全部內(nei) 容，對進階數學知識和涉及的公式運用熟練程度要求都要高不少，所以相當一部分學生來說也是很有挑戰性的。

再將STEP 2和STEP 3的成績數據進行對比，不難發現：

STEP 2的等級1和2人數占比均少於(yu) STEP 3，意味著STEP 2能否取得等級1或者等級2以上的成績，將成為(wei) 劍橋或帝國理工等大學的offer轉正的關(guan) 鍵因素。
STEP 2的等級1和2的分數線也比STEP 3的低不少，說明STEP 2的題整體(ti) 上更難，更不好拿高分。

所以，如果各位認為(wei) STEP 2比STEP 3考的知識範圍小，所以題目就比STEP 3要簡單，就有點想當然了。事實上，要在STEP 2上取得等級1的成績，需要付出的時間和精力並不會(hui) 比備考STEP 3少，甚至可能更多。這也是為(wei) 什麽(me) 研發團隊在設計STEP課程時會(hui) 突出STEP 2訓練量的占比，以平衡學生在備考STEP 2和STEP 3的時間和精力分配，做到盡可能的科學合理、高效備考。

備考方法

劍橋STEP備考方法

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

1. 需要學完A-Level數學和高數嗎？

必須學完A-Level數學的全部內(nei) 容。STEP 2要求AS進階數學的內(nei) 容，而STEP3 則進一步要求A2進階數學的內(nei) 容。STEP指導老師並不建議學生在學完AS或全部進階數學後再開始備考STEP，一方麵是學完進階數學後通常備考STEP時間非常緊，另一方麵進階數學大部分知識學完容易遺忘，而備考STEP本身可以促進進階數學的學習(xi) 。

因此，強烈建議進階數學的學習(xi) 和STEP的備考同時進行。

注意：不同考試局的A Level數學、進階數學大綱與(yu) STEP大綱略有差異。

2. 備考STEP需要多少時間？

不同學生的數學基礎差別較大，劍橋官方建議備考STEP時間不少於(yu) 6個(ge) 月。但根據指導老師進幾年指導的學生實際情況來看，多數都要9個(ge) 月以上才能取得等級1以上的成績。

對於(yu) 沒有學高數和數學競賽基礎的學生，老師們(men) 建議備考時間12個(ge) 月以上，期間還可以同步參加各類數學競賽以促進STEP的學習(xi) 和備考。

對於(yu) 學過高數且有數學競賽基礎的學生，一般建議準備STEP2和3的時間不少於(yu) 6個(ge) 月，這樣更有把握取得等級1甚至S。

3. 要刷曆年真題嗎？

Yes。真題一定要刷，但不要盲目刷。

有學生一開始就刷最近兩(liang) 三年的真題找感覺，等到臨(lin) 考的時候就會(hui) 發現沒有近兩(liang) 年的題用來模考了。

另外，STEP每套題才12-13道，覆蓋的知識點不到整個(ge) 大綱的1/10。即便有時間刷完近十年、近二十年的真題，也未必能覆蓋考綱所有的範圍，何況2019年STEP大綱進行了大幅修訂，知識點有增有減。單純的刷曆年真題，不但刷不到新知識點，刷到不考的知識點隻會(hui) 浪費大量時間、降低備考效率。

STEP題很難，但又不是所有的題都難。不像A Level、AP考試和數學競賽的題目難度隨著題號增加而增加，STEP的題目難度與(yu) 題號沒有必然聯係，完全是隨機的。有幾年第1題看起來簡單實際又難又浪費時間，坑了無數學生。題號在中間的往往會(hui) 有幾道簡單題。備考時刷這種難度不按規律出現的套題的效率非常低。

最後，官方真題答案有極個(ge) 別錯誤(牛劍備考課程研發團隊在教材中已經修訂)，還有更多的STEP 2和STEP 3的題答案解析不詳細、不提供圖像，學生自己刷題看答案解析看不懂會(hui) 浪費很多寶貴的備考時間。

綜上，按曆年真題順序或成套刷題很難摸清考試命題規律和考查要點，不但效果不好還浪費時間。建議在經驗豐(feng) 富的專(zhuan) 業(ye) 教師指導下進行備考，有效利用時間、提高備考效率和效果。

4. 體(ti) 驗劍橋大學經典的數學考試方式

備考指南｜劍橋STEP數學考試【2021】

按照知識點係統梳理、逐步提升難度是比較科學的備考方法。尤其像邏輯推理、計算熟練程度、解題思路無法通過短期刷題提升，需要循序漸進的積累和提高。

如果沒有老師指導、希望自學，建議先完成前文推薦的官方Support Programme的assignments，找找感覺。然後再對照劍橋STEP 2021版大綱的知識點選題、刷題。

5. 考前模考

在模考階段再按照一定的節奏刷最近兩(liang) 到三年的真題，感受近幾年STEP的命題趨勢、適應STEP考試難度。

考前3-4周安排刷一套真題，以近三年為(wei) 宜，嚴(yan) 格按照考試要求計時並對照答案判分，掌握自己水平、查找還存在的知識漏洞。

考前2周安排刷第二套真題。

考前3天左右再安排刷去年真題。

每次模考後一定要及時總結，針對知識漏洞有針對性的練習(xi) 鞏固。

6. 如何進行係統訓練？

經過教研團隊多年的研發所總結出的係統訓練方式可以簡單概括為(wei) ：

數學知識、思維方式、計算速度、解題方法和書(shu) 寫(xie) 習(xi) 慣並重

無論是A Level數學、進階數學，還是AP微積分、IB HL數學，都存在知識點不能完全覆蓋STEP考點的問題，尤其是AP微積分和IB HL數學知識點與(yu) STEP大綱重合度不到70%，所以補充學習(xi) STEP的“超綱”內(nei) 容是整個(ge) STEP備考過程中的重要一環。
學習(xi) 和訓練批判性的數學思維方式、提高邏輯推理能力和推理的嚴(yan) 謹性。研發團隊在教學實踐中發現不少學生非常聰明但思維方式跳躍、邏輯推理不嚴(yan) 謹，導致多數題目會(hui) 做但得分低，經過老師們(men) 係統的、有針對性的調教後，這方麵問題會(hui) 得到明顯改善並有效提高STEP考試成績。
現在國際數學課程都允許使用計算器，尤其是學習(xi) 美高、AP課程的學生，更是依賴圖形計算器的強大計算、繪圖功能，直接導致部分學生過於(yu) 依賴計算器，計算熟練程度不夠、解題速度慢。而STEP對計算的要求遠遠超過A Level數學和進階數學，且不允許使用計算器，因此在學習(xi) 和備考STEP期間老師們(men) 會(hui) 嚴(yan) 格禁止學生使用計算器，即便有些STEP題計算量非常大、非常耗時，算到手酸也也必須手算！
通過STEP部分題目自帶新解題方法介紹，隻要能細心觀察、反複揣摩題目的意圖就很容易習(xi) 得新的解題方法。而在老師引導下回顧、品味題目的時候，學生往往能在數學思維方式上得到提升，通過解題方法的積累而不斷提升數學素養(yang) ，這也正是牛津、劍橋大學所最為(wei) 看重的一個(ge) 方麵。
經過對不少具有數學天賦的學生進行觀察，不規範的書(shu) 寫(xie) 往往成為(wei) 他們(men) 取得STEP高分的攔路虎，所以針對這部分學生，老師們(men) 往往是先從(cong) 培養(yang) 書(shu) 寫(xie) 習(xi) 慣入手，手把手有針對性的指導如何書(shu) 寫(xie) 解答過程、如何嚴(yan) 謹的表達邏輯推理過程。

在學習(xi) STEP課程、備考STEP的每一個(ge) 學生的個(ge) 性和天資都不完全一樣，所以在製定係統訓練方案的時候，都是由老師經過一段時間的指導之後不斷的調整，以做到一生一案，讓每個(ge) 學生都能花費更少的時間得到最好的學習(xi) 效果，並取得與(yu) 其實力相匹配的STEP成績。

選題策略

劍橋STEP考試選題策略

STEP考試形式與(yu) 劍橋大學數學專(zhuan) 業(ye) 本科考試常見的形式一致，但與(yu) 常規的A Level、AP考試和數學競賽差異較大。關(guan) 於(yu) STEP考試形式參見《全麵解讀｜劍橋STEP數學考試【2021】》

使用討巧的選題策略、做到揚長避短，無疑能有效提高STEP考試成績。選題策略因人而異，很難通過簡單幾句話概況，也不是一朝一夕、通過刷幾套題就能悟出來的。

為(wei) 什麽(me) 說選題策略因人而異？

每個(ge) 學生的數學水平和天賦千差萬(wan) 別，有的學生有競賽基礎，邏輯水平強、數論知識儲(chu) 備多，而有的學生隻學過課內(nei) 知識，沒有專(zhuan) 門準備過數學競賽
每個(ge) 學生的習(xi) 慣和個(ge) 性特點不同，有的學生思維敏捷但書(shu) 寫(xie) 和表達弱，有的學生書(shu) 寫(xie) 規範、聽老師話但缺乏邏輯訓練
每個(ge) 學生所學的數學課程體(ti) 係、知識儲(chu) 備也不盡相同
備考時間長短不同、刷過的STEP題量不同，從(cong) 而對STEP試題的熟悉程度不同
從(cong) 考查知識點方麵來看，STEP命題沒有規律，每年考題覆蓋考綱的1/10都不到
有的學生提前1年多準備，有的學生拿到offer離考試還有3個(ge) 月才開始準備