2018年USAP競賽數學主題知識點及考題分析

終於(yu) 到了USAP的Mathematics --- 總共35道客觀題，允許使用計算器，30分鍾，1000分，每道28.57分。考察的內(nei) 容基本屬於(yu) 小學奧數或者初中數學的知識點，也是國內(nei) 學生的製霸領域，但千萬(wan) 不要以為(wei) 你去裸考就能斬獲不錯的成績，在不熟悉題目設置和相關(guan) 專(zhuan) 有名詞的情況下，還是有可能大意失荊州，慘遭滑鐵盧。

數學冊(ce) 子共有55頁，3個(ge) 章節，分別是Probability, Statistics and Algebra，也就是概率，統計和代數，每個(ge) 知識點都有清晰的定義(yi) 和配套例題，在每章最後有Summary總結和Problems Review練習(xi) 題。備考的童鞋們(men) 雖然可能已經都學過了這些知識點，但還是需要認真通讀整本數學冊(ce) 子，查缺補漏和熟悉專(zhuan) 業(ye) 術語。

第一章Probability 

考察獨立事件，相依事件，序列等等。

請計算：滅霸一個(ge) 筆芯消滅整個(ge) 婦聯的概率是多少？

第二章 Statistics

統計考察統計基本概念，柱狀圖，散點圖等等。

 第三章Algebra代數

考察的內(nei) 容都比較樸（sha）實（diao），多項式因子，一元二次方程，展開數學式等等。

我們(men) 再來看一下跟概率有關(guan) 的一個(ge) 問題，蒙提霍爾三門問題，這個(ge) 問題乍看之下非常簡單，卻包含了第一章節中非常重要的核心知識點，獨立事件和相依事件的區分。

Monty Hall problem，蒙提霍爾三門問題，題幹如下：

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors: Behind one door is a car; behind the others, goats. You pick a door, say No. 1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say No. 3, which has a goat. He then says to you, "Do you want to pick door No. 2?" Suppose the host always follows this procedure. Is it to your advantage to switch your choice？

參賽者會(hui) 看見三扇關(guan) 閉了的門，其中一扇的後麵有一輛汽車，選中後麵有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩(liang) 扇門後麵則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啟它的時候，節目主持人開啟剩下兩(liang) 扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會(hui) 問參賽者要不要換另一扇仍然關(guan) 上的門。問題是：換另一扇門會(hui) 否增加參賽者贏得汽車的機率？

對於(yu) 大多數人來說，不需要動腦細想啊，不管換不換，選到車的概率都是1/3，But，實際上，不換門的話，贏得汽車的幾率是1/3；換門的話，贏得汽車的幾率是2/3。這種問題被稱作是事實悖論(paradox of the veridical type)，雖然問題的答案在邏輯上並不自相矛盾，但十分違反直覺。在這個(ge) 問題提出的1990年，即使是有嚴(yan) 謹的論證，仍遭到了了許多路人甚至是數學教授的質疑。

我們(men) 來看看其中一種論證，窮舉(ju) 法的過程吧：

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性（1/3）：

參賽者挑山羊一號，主持人挑山羊二號。換門將贏得汽車。

參賽者挑山羊二號，主持人挑山羊一號。換門將贏得汽車。

“參賽者挑汽車，主持人挑羊一號。換門將失敗”，和“參賽者挑汽車，主持人挑羊二號。換門將失敗。”

因此換門得獎的概率是2/3，不換門得獎的概率是1/3。實際上在主持人打開一扇門的時候，為(wei) 你展示了一個(ge) 錯誤答案，第一次選擇和第二次選擇的條件已經發生了變化，幾率也隨即發生了變化。