AMC 8數學競賽分析 比你以為的更有深度一點

近年來，隨著標準化考試越來越普遍，僅(jin) 僅(jin) 靠 SAT、托福等成績越來越難和同齡人區分開來了，有一門競賽成績就成了雪中送炭的加分項了。
美國數學競賽 AMC 的全稱是 American Mathematics Competitions。
比賽分等級：AMC8 / AMC10 / AMC12，分別對應不超過 8 / 10  / 12 年級的學生參加，美國及其他地區均可參加，尤其誌在申請 STEM 專(zhuan) 業(ye) 類高中生更是不能錯過。
（AMC 數學競賽由美國數學協會(hui) MMA 舉(ju) 辦）
不知道大家發現沒？數學競賽有個(ge) 有趣的現象，往往低年級參加競賽的學生很多，很多孩子小時候都被認為(wei) 是“聰明”、“思維快”的孩子，從(cong) 而參加數學競賽，並且小學、初中前半段數學一直都很好；
但到了初中後半段以及高中，就慢慢學不懂競賽了。以AMC 為(wei) 例，AMC 8 到 10 再到 12 逐漸變難，能跟得上的人越來越少。究其原因，我覺得是很多人在 AMC 8 時期雖然能做對題，但沒有打好數學競賽基礎。
解一道數學題，要考慮為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 做，要想有沒有計算的方法（而非一個(ge) 一個(ge) 數的方法）。
然而 AMC 8 的特點就是數字較小，可以一個(ge) 一個(ge) 數；而且 AMC 8 步驟較少，即使不去想“為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 做”，也可以在有限中方法中試出來答案。
最後結果就是：不少學生把選擇題答案選對了，他們(men) 自己以為(wei) 會(hui) 了，家長也以為(wei) 會(hui) 了。但其實背後的計算方法和數學模型思維並沒掌握！
我們(men) 來看下 AMC 8 和 AMC 12 兩(liang) 道題，考察的是同一個(ge) 知識點的。
先看這道 AMC 8 的題：

題目的意思是從(cong) 下圖中 A 點走到 B 點，每步都是向右或者向上走，不能經過“大黑點”，有幾種走法？

我相信，做這道題大部分人得逐一數一數，數出來共 4 條，對了。但是，如果一定要讓你寫(xie) 個(ge) 算式，你會(hui) 寫(xie) 嗎？
寫(xie) 算式的時候，才會(hui) 用到兩(liang) 個(ge) 核心知識點：
1.分類討論，既不經過“大黑點”就相當於(yu) 經過 C 點或 D 點

2.路徑個(ge) 數計算，從(cong) D 點到 B 點經過一個(ge) 1×2 的格子，走法數是 C 3 抽 1 （AMC 8 課中會(hui) 講到知識點：在 m×n 網格中，左下角走到右上角的走法數是 C (m+n) 抽 m，因為(wei) 在總共 m+n 步中需要有 m 步向右）

就像這樣，打好基礎是要想這樣理解怎麽(me) 算，而非簡單的數出來。
如果你有以上“理解”+“計算”的基礎，再看下麵這道 AMC 12 題，就會(hui) 感覺僅(jin) 僅(jin) 是數字大了一些，做起來還是輕而易舉(ju) ！

這道題還是路徑問題，隻是把 AMC 8 中所說的不能經過某個(ge) “大黑點”改成了不能經過某個(ge) “陰影區域”，換湯不換藥，還是分類討論，還是用路徑問題的公式。做法如下：

如果沒有一個(ge) 良好的 AMC 8 基礎，看到這道題就不好下手了，因為(wei) 這麽(me) 大的數字總不能一個(ge) 一個(ge) 數吧。
而之前如果沒有建立好 AMC 8 計數問題的基礎的話，直接學這道題說實話也是很難學懂的。
不像中國的數學教材是知識點整塊學完學下一個(ge) ，國外的數學教材是分層遞進，譬如今年學函數，明年你還要學函數，後年還是要學函數，就是難度不斷加大，每年的內(nei) 容都是差不多的，這個(ge) 和考試很像的。
就像 8 和 10 沒什麽(me) 本質內(nei) 容差別，10 到 12 多個(ge) 了 log 的事情還有一個(ge) complex number 的事情。
AMC 8 是很好鑒定你數學思維的一個(ge) 考試，而且門檻不太高，大家都應該在低年級時候試試。”

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