進階數學如何衝刺A*！ALevel進階統計學習方案

Hello，學弟學妹大家好～我是在CAIE考試局拿過四門A*的WC，繼之前的進階數學純數1和進階力學之後，我們(men) 終於(yu) 又在這篇進階統計的學習(xi) 經驗分享裏相遇啦！

內(nei) 容介紹

在CAIE考試局中，進階數學一共分為(wei) 四張卷子：進階數學純數1、進階力學、進階統計和進階數學純數2，難度係數依次遞增。

相比進階數學純數1的微積分學和進階力學的受力分析（對這兩(liang) 張paper有興(xing) 趣的同學可以去看看進階數學係列一和二的內(nei) 容，鏈接在下方），尤其和這兩(liang) 張卷子不同之處在於(yu) ，進階數學中的統計卷是會(hui) 顛覆你之前對統計的印象的。

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相信同學們(men) 在學習(xi) CAIE考試局的A Level數學的時候，一定有為(wei) 排列組合抓狂過吧？

的確，它層出不窮的新奇題型和林林總總的扣分點讓考生們(men) 頭疼不已，偏偏排列組合又在統計卷的分數中占據了極大篇幅，這造成了無數考生為(wei) 之折腰。

你是否也對排列組合又愛又恨呢？

好消息來啦～在CAIE考試局的A Level進階統計卷裏，是沒有排列組合的！在鬆了口氣的同時，一定有疑惑在你心中油然而生：那進階統計到底要學什麽(me) 內(nei) 容呢？

別急，今天我就來跟大家聊聊進階統計的相關(guan) 內(nei) 容，以及對應的學習(xi) 訣竅。咱們(men) 接著往下看～

如何自學進階統計

進階統計卷的學習(xi) 內(nei) 容一共分為(wei) 五章，咱們(men) 一個(ge) 個(ge) 聊。

Chapter 1

就如其他幾張卷子的章節設置一樣，第一章永遠是最容易掌握的，同時也是學習(xi) 後續章節的基礎。但千萬(wan) 別掉以輕心，如果你抱著第一章簡單，可以隨意學學的心態的話，極易“陰溝裏翻船”，為(wei) 之後的學習(xi) 埋雷。

首先，你得熟練掌握probability density function (pdf)和cumulative distribution function (cdf)分別是什麽(me) ，以及在這個(ge) 基礎上，掌握pdf和cdf之間的相互轉換：無論是從(cong) pdf轉換成cdf，還是從(cong) cdf轉換回pdf，都是考試的重中之重，一定要會(hui) ！！

其次，對continuous random variable的理解和計算也必不可少。敲黑板，就比如說E(g(X))的計算，我把具體(ti) 公式放在下麵啦，建議大家考前檢查一下對公式的掌握是否到位～

Chapter 2

相比第一章的“小兒(er) 科”，第二章的難度開始逐漸攀升：

在第二章的一開始，就引入了一個(ge) 新的分布，即t-distribution。它和我們(men) 在普通數學中學過的normal distribution有些類似，但又不盡相同。

注意到了嗎？t-distribution引入了degrees of freedom這一概念，而degrees of freedom的計算，又和constraint的數量息息相關(guan) 。劃重點：請熟練掌握t-distribution和normal distribution的相關(guan) 知識點，我們(men) 需要在這個(ge) 基礎上學會(hui) 解答題目，就像做菜得有食材一樣，否則就會(hui) “巧婦難為(wei) 無米之炊”。

Chapter 3

進階統計的第三章是chi-squared test，這毫無疑問是一位生麵孔的客人，但不要驚慌，沉下心來，按照步驟耐心和它打交道。

?Step 1:假設檢驗（hypothesis testing）

第一步要做的相對簡單，隻需要定義(yi) null hypothesis就好了，就如我下圖所做的那樣：

一般來說，定義(yi) 的具體(ti) 內(nei) 容需要參考題目裏給出的條件，隨機應變即可。

?Step 2:擬合優(you) 度（goodness of fit）

此時此刻，我不得不吆喝一聲：重點來啦！

由於(yu) goodness of fit的計算尤其麻煩，得考慮不同分布情況：就像是Poisson、Binomial和Normal這三種不同的分布，degrees of freedom就不一樣；同時，你還得考慮題目中是否有給出probability、mean或variance等數據。

是不是聽著頭就大了？不用擔心，貼心的我把不同情況都整理出來啦～

當然，不要過度依賴哈！平時刷題的時候盡量就把這些不同的case背下來，防止考試時腦袋卡帶，喜提重考名額。

Chapter 4

第四章，即非參數檢驗（Non-parametric tests），絕對是我心中重要程度No.1的一章，快打起精神來，不要錯過接下來的重點！

這一章的題目特點是“玩神秘”，不會(hui) 具體(ti) 告訴你要用哪種檢驗方式最合適，當然，這不代表你選錯了會(hui) 得分，直接全扣！那麽(me) ，如何分辨題目所需的test類型呢？

答案是：觀察題目給出的數據。

比如說，成雙成對出現的數據，往往更符合Wilcoxon matched-pairs signed-rank test的特點，絕不是Single-sample sign test；而當如果給的兩(liang) 個(ge) 樣本是獨立的時候，那麽(me) 通常用Wilcoxon rank-sum test會(hui) 更合適。

不同的test，計算的流程當然也不一樣，是不是看到這裏感到頭昏眼花啦？不用擔心，其實訣竅在於(yu) Formula Sheet！（劃重點）翻開公式表，你便會(hui) 發現不同的test表格中，附帶著對應test的注意事項，一部分計算流程當然也包含其中。

如果還是覺得自己記不住，可以像我一樣，去做一個(ge) 簡單明了的summary：總結不同test的特點，比如適合的sample size等等，整理的過程能幫助你理清思路，更好地去掌握這些令人頭痛的難點。

Chapter 5

在第五章的學習(xi) 中，首先是對probability generating function的掌握，這塊內(nei) 容細分為(wei) 三類：Binomial、Poisson和Geometric distribution。老規矩，下圖是我用相關(guan) 知識點做的表格，可自取～

其次是對Var(X)和E(X)的計算，唯一需要格外在意的點是：Geometric distribution是新出現的知識點，在這種分布下，Var(X)和E(X)的計算和以往不太一樣，不要混為(wei) 一談。

參考資料推薦

作為(wei) 一個(ge) 嘔心瀝血自學過進階數學四張paper的過來人，我可以明確告訴大家，一定要盡量減少對市麵上那些琳琅滿目的學習(xi) 資料的依賴！

為(wei) 什麽(me) 這麽(me) 說呢？

因為(wei) 這些非官方資料大部分知識點是不全的。CAIE考試局時常會(hui) 對自己的考綱進行修改，增減一些內(nei) 容，而這些非官方資料很難與(yu) 時俱進，千萬(wan) 別等考試那天才發現自己學的和考試考的是兩(liang) 碼事，那真的是太“驚喜”了！

我推薦的參考資料有且僅(jin) 有CAIE考試局的進階數學官方書(shu) 籍，以及進階數學的past paper，肯定是最新的年份最好。

如果你是那種沒有summary不行的那類學生，也可以嚐試對照書(shu) 上內(nei) 容去做一個(ge) 屬於(yu) 自己的summary，這是鞏固理解的重要途徑，在進階統計裏尤為(wei) 重要，比對著不知道哪來的、不知道是對還是錯的資料死記硬背好得多～

考前小貼士

進階統計不僅(jin) 和之前學過的統計不太一樣，還多出了好多新鮮的玩意兒(er) 。從(cong) 我個(ge) 人的理解出發，進階統計在進階數學的四張卷子裏，是帶有些許“文科”特點的。換句話說，你想學好這張卷子，得會(hui) 背！背，也不是死記硬背，要聰明地背：

第一，善用Formula Sheet，不用把所有知識點都背下來，這隻會(hui) 加重學習(xi) 量； 第二，請盡量在理解的基礎上去記住這些知識點，硬背真的很痛苦，我非常不推薦； 第三， 當然就是我百說不厭的刷past paper啦～ 推薦的刷題網站是https://cie.fraft.org/，擔心自己掌握不熟練，那就多刷幾套題吧！

至少在我看來，進階統計卷的出題方式略顯老套，難點僅(jin) 在於(yu) 知識點的繁雜上，在熟悉知識點後刷題練習(xi) 解題技巧，往往頗有奇效。

最後，希望大家都能順利通過進階統計的五道關(guan) 卡，贏得夢寐以求的A*～